Geradengleichung

Eine Geradengleichung ist eine Gleichung in der Mathematik, die eine Gerade eindeutig beschreibt. Die Gerade besteht aus allen Punkten, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen.

Die Abbildung zeigt eine Gerade durch zwei gegebene Punkte $P$ und $Q$ in einem kartesischen Koordinatensystem. Durch zwei voneinander verschiedene Punkte existiert in der euklidischen Geometrie immer genau eine Gerade.

Geraden in der Ebene

Koordinatengleichungen

In einem kartesischen Koordinatensystem werden jedem Punkt $P$ der Ebene zwei Zahlen $x$ und $y$ als Koordinaten zugeordnet. Man schreibt $P(x|y)$ oder $P=(x,y)$ . Eine Gleichung mit den Variablen $x$ und $y$ beschreibt dann eine Menge von Punkten in der Ebene, und zwar die Menge aller Punkte, deren $x$ - und $y$ -Koordinate die Gleichung erfüllen. Die Schreibweise

g\colon \ y=2x

bedeutet beispielsweise, dass die Gerade $g$ aus allen Punkten $(x,y)$ besteht, die die Gleichung $y=2x$ erfüllen. Die entsprechende Mengenschreibweise lautet

g=\{(x,y)\mid y=2x\}

.

Geraden sind nun dadurch ausgezeichnet, dass es sich bei der zugehörigen Geradengleichung um eine lineare Gleichung handelt. Für solche Gleichungen gibt es eine Reihe unterschiedlicher Darstellungsformen.

Haupt- oder Normalform

Gerade mit Steigung m und y-Achsenabschnitt n

Jede Gerade, die nicht parallel zur y-Achse ist, ist der Graph einer linearen Funktion

f(x)=m\cdot x+n

,

wobei $m$ und $n$ reelle Zahlen sind.^[1] Die zugehörige Geradengleichung lautet dann

y=m\cdot x+n

.

Die Parameter $m$ und $n$ der Geradengleichung haben eine geometrische Bedeutung. Die Zahl $m$ ist die Steigung der Geraden und entspricht der senkrechten Kathete des Steigungsdreiecks, dessen waagrechte Kathete die Länge $1$ aufweist. Die Zahl $n$ ist der y-Achsenabschnitt, das heißt die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt $(0,n)$ . Ist $n=0$ , so verläuft die Gerade als Ursprungsgerade durch den Koordinatenursprung und die zugehörige Funktion ist dann eine Proportionalität.^[2] Die Gerade mit der Gleichung $y=m\cdot x+n$ erhält man aus der Geraden mit der Gleichung $y=m\cdot x$ , indem sie um $n$ in Richtung der y-Achse verschoben wird. Diese Verschiebung erfolgt nach oben, wenn $n$ positiv ist, und nach unten, wenn $n$ negativ ist.

Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen, sind keine Funktionsgraphen. Sie lassen sich durch eine Gleichung der Form

x=a

darstellen, wobei $a$ eine reelle Zahl ist. Eine solche Gerade schneidet die x-Achse im Punkt $(a,0)$ .

Zweipunkteform

Steigungsdreiecke einer Geraden

Verläuft die Gerade durch die beiden Punkte $(x_{1},y_{1})$ und $(x_{2},y_{2})$ , wobei $x_{1}$ und $x_{2}$ verschieden seien, dann kann die Steigung $m$ der Geraden mit Hilfe des Differenzenquotienten durch

m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}

berechnet werden. Nach dem Strahlensatz kann nun statt des Punktes $(x_{2},y_{2})$ auch ein beliebiger anderer Punkt $(x,y)$ der Geraden gewählt werden, ohne dass die Steigung sich verändert. Damit ergibt sich die Zweipunkteform

{\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}

^[3]

oder äquivalent dazu, indem die Gleichung nach $y$ aufgelöst wird,

y={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot (x-x_{1})+y_{1}

und somit

y=\underbrace {\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)} _{m}x+\underbrace {\frac {y_{1}x_{2}-y_{2}x_{1}}{x_{2}-x_{1}}} _{n}

.

Punktsteigungsform

Punktsteigungsform einer Geradengleichung

Eine Gerade durch den Punkt $(x_{1},y_{1})$ mit der Steigung $m$ wird durch folgende Gleichung beschrieben:

y-y_{1}=m\cdot (x-x_{1})

.

Diese Formel kann auch benutzt werden, wenn zwei Punkte bekannt sind, aber man den Schnittpunkt mit der y-Achse (oben $n$ genannt) nicht explizit bestimmen will.^[4]

Koordinatenform

Die Koordinatenform der Geradengleichung in der Ebene lautet

ax+by=c

,

wobei $a$ und $b$ nicht beide 0 sein dürfen.

Durch Auflösen der Gleichung nach $y$ (falls $b\neq 0$ ) erhält man hieraus die explizite Form. Die Koordinatenform hat den Vorteil, dass sie symmetrisch in $x$ und $y$ ist. Es wird also keine Richtung der Geraden bevorzugt. Geraden, die parallel zur y-Achse sind, spielen keine Sonderrolle.

Achsenabschnittsform

Achsenabschnittsform einer Geradengleichung

Eine spezielle Form der Koordinatenform ist die Achsenabschnittsform. Schneidet die Gerade die x-Achse im Punkt $(x_{0},0)$ und die y-Achse im Punkt $(0,y_{0})$ , wobei $x_{0}$ und $y_{0}$ nicht null seien, so lässt sich die Geradengleichung in der Form

{\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1

schreiben.^[5] Diese Form heißt Achsenabschnittsform der Geradengleichung mit dem x-Achsenabschnitt $x_{0}$ und dem y-Achsenabschnitt $y_{0}$ . Wird die Gleichung nach $y$ aufgelöst, so ergibt sich die explizite Form

y=-{\frac {y_{0}}{x_{0}}}\cdot x+y_{0}

,

wobei das Verhältnis $-{\tfrac {y_{0}}{x_{0}}}$ gerade der Steigung $m$ der Geraden entspricht.

Vektorgleichungen

Es gibt auch die Möglichkeit, eine Gerade mit Hilfe der Vektorrechnung zu beschreiben. Dabei betrachtet man statt der Punkte ihre Ortsvektoren. Der Ortsvektor ${\overrightarrow {OP}}$ eines Punktes $P=(p_{1},p_{2})$ wird üblicherweise mit ${\vec {p}}={\tbinom {p_{1}}{p_{2}}}$ bezeichnet.

Parameterform

Parameterform einer Geradengleichung

Bei der Parameterform wird keine Bedingung formuliert, die die Koordinaten der Punkte erfüllen müssen, damit sie auf der Geraden liegen, sondern die Punkte der Geraden werden in Abhängigkeit von einem Parameter dargestellt. Jedem Wert des Parameters entspricht dabei ein Punkt der Geraden. Durchläuft der Parameter alle reellen Zahlen, so erhält man alle Punkte der Geraden. In der Parameterform hat eine Gerade die Darstellung

{\vec {x}}={\vec {p}}+s\,{\vec {u}}

beziehungsweise ausgeschrieben

{x_{1} \choose x_{2}}={p_{1} \choose p_{2}}+s\,{u_{1} \choose u_{2}}

.

Hierbei ist ${\vec {p}}$ der Ortsvektor eines festen Punktes der Geraden, ${\vec {u}}$ der Richtungsvektor der Geraden und $s$ eine Zahl, die angibt, wie lange in diese Richtung gezählt wird. Der Parameter $s$ bildet hierbei die Koordinate eines affinen Koordinatensystems auf der Geraden, das heißt die Gerade wird mit den Werten von $s$ beziffert, wobei der Nullpunkt bei $(p_{1},p_{2})$ liegt.

Normalenform

Normalenform einer Geradengleichung

Mit einem Normalenvektor ${\vec {n}}$ , der im rechten Winkel zur Geraden steht, lässt sich die Gerade in Normalenform schreiben:

{\vec {n}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {p}})=0

.

Darin ist ${\vec {p}}$ wieder der Ortsvektor eines Geradenpunkts und $\cdot$ das Skalarprodukt zweier Vektoren. Ist ${\tbinom {u_{1}}{u_{2}}}$ ein Richtungsvektor einer Geraden, so ist ${\tbinom {-u_{2}}{u_{1}}}$ ein Normalenvektor der Geraden. Bei der hesseschen Normalform

{\vec {n}}_{0}\cdot {\vec {x}}=d

wird eine Gerade durch einen normierten und orientierten Normalenvektor ${\vec {n}}_{0}$ und den Abstand $d$ vom Koordinatenursprung beschrieben.

Geraden im Raum

Darstellung einer Raumgeraden

Geraden im Raum lassen sich nicht in der Normalenform darstellen, da sie weder Achsenabschnitte noch einen eindeutig bestimmten Normalenvektor besitzen (zu einer Geraden im Raum gibt es unendlich viele auf ihr senkrecht stehende Richtungen). Gebräuchlich ist die oben vorgestellte Parameterform

{\vec {x}}={\vec {p}}+s\,{\vec {u}}

,

wobei ${\vec {x}}$ , ${\vec {p}}$ und ${\vec {u}}$ nun Vektoren im Raum sind. Mit Hilfe des Vektorprodukts lässt sich noch eine andere, parameterfreie Geradenform konstruieren, die Determinantenform

{\vec {u}}\times {\vec {x}}-{\vec {u}}\times {\vec {p}}={\vec {0}}

.

Hierbei ist ${\vec {p}}$ wiederum der Ortsvektor eines festen Punkts der Geraden und ${\vec {u}}$ der Richtungsvektor der Geraden. Das Vektorprodukt ergibt die doppelte Fläche eines Dreiecks zwischen dem Ursprung, ${\vec {x}}$ und ${\vec {x}}+{\vec {u}}$ , das beim parallelen Verschieben einer Seite durch Verschieben von ${\vec {x}}$ entlang der Gerade gleich bleibt.

Da die Differenz ${\vec {x}}-{\vec {p}}$ des Ortsvektors ${\vec {x}}$ jedes beliebigen Punktes der Geraden und dem Stützvektor ${\vec {p}}$ kollinear zum Richtungsvektor ${\vec {u}}$ sein muss (also in dieselbe oder in die entgegengesetzte Richtung zeigt), ergibt das Vektorprodukt der beiden immer den Nullvektor:

{\vec {u}}\times ({\vec {x}}-{\vec {p}})={\vec {0}}

.

Für jeden Vektor ${\vec {x}}$ , der Ortsvektor eines Punktes der Geraden ist, trifft die Gleichung zu, in allen anderen Fällen ergibt sich nicht der Nullvektor. Ist ${\vec {u}}$ ein Einheitsvektor, so entspricht

|{\vec {u}}\times {\vec {p}}|

genau dem Abstand der Geraden vom Ursprung.

Siehe auch

Ebenengleichung

Literatur

Manfred Leppig: Lernstufen Mathematik. Girardet, 1981, ISBN 3-7736-2005-5, S. 61–74.
Ilja Nikolajewitsch Bronstein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 24. Auflage. Harri Deutsch Verlag, 1989, ISBN 3-87144-492-8, S. 219.
Helmuth Preckur: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. (= Mentor-Lernhilfe. Band 50). Mentor Verlag, München 1983, ISBN 3-580-64500-5, S. 72–85, 106–114.

Anmerkungen

↑ Der Parameter $n$ wird in der Literatur auch mit $b$ , $c$ oder $t$ bezeichnet. In Österreich schreibt man meist $f(x)=k\cdot x+d$ .
↑ Lothar Papula: Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler ; mit zahlreichen Rechenbeispielen und einer ausführlichen Integraltafel. 11., überarb. Auflage. Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-8348-1913-0, S. 75.
↑ Lothar Papula: Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler ; mit zahlreichen Rechenbeispielen und einer ausführlichen Integraltafel. 11., überarb. Auflage. Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-8348-1913-0, S. 76.
↑ Lothar Papula: Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler ; mit zahlreichen Rechenbeispielen und einer ausführlichen Integraltafel. 11., überarb. Auflage. Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-8348-1913-0, S. 75.
↑ Lothar Papula: Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler ; mit zahlreichen Rechenbeispielen und einer ausführlichen Integraltafel. 11., überarb. Auflage. Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-8348-1913-0, S. 76.