Steiner-Ellipse

Ellipse
(Weitergeleitet von Steiner-Umellipse)

In der Geometrie ist die Steiner-Ellipse eines Dreiecks (zur Unterscheidung von der Steiner-Inellipse auch Steiner-Umellipse genannt) die eindeutig bestimmte Ellipse, die durch die Ecken des Dreiecks geht und deren Mittelpunkt der Schwerpunkt des Dreiecks ist.[1] Die nach Jakob Steiner benannte Ellipse ist ein Beispiel für einen umbeschriebenen Kegelschnitt. Zum Vergleich: Auch der Umkreis eines Dreiecks ist ein solcher Kegelschnitt, der durch die Ecken verläuft; aber der Umkreismittelpunkt fällt nicht mit dem Schwerpunkt zusammen – außer wenn das Dreieck gleichseitig ist.

Die Steiner-Ellipse eines Dreiecks. Im Zentrum der Schwerpunkt des Dreiecks, der mit dem Mittelpunkt der Steiner-Ellipse übereinstimmt.

Der Flächeninhalt der Steiner-Ellipse ist gleich dem -fachen Flächeninhalt des Dreiecks und folglich viermal so groß wie der Inhalt der Steiner-Inellipse. Die Steiner-Ellipse hat den kleinsten Flächeninhalt unter allen dem Dreieck umbeschriebenen Ellipsen.[1]

Eigenschaft einer Steiner-Ellipse

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Steiner-Ellipse eines gleichseitigen (links) und gleichschenkligen Dreiecks
  • Eine Steiner-Ellipse ist die einzige Ellipse, die den Schwerpunkt   eines Dreiecks   als Mittelpunkt besitzt und durch die Ecken des Dreiecks verläuft. Der Flächeninhalt der Steiner-Ellipse ist gleich dem  -fachen Flächeninhalt des Dreiecks.
Beweis

A) Bei einem gleichseitigen Dreieck ist die Ellipse offensichtlich der Umkreis. Er ist die einzige Ellipse, die die Forderungen erfüllt. Denn da   der Mittelpunkt der Ellipse ist, müssen auch die drei an   gespiegelten Ecken auf der Ellipse liegen. Dies ist für den Umkreis der Fall. Da ein Kegelschnitt durch 5 Punkte eindeutig bestimmt ist, ist der Kreis die einzige Ellipse mit der geforderten Eigenschaft.

B) Da ein beliebiges Dreieck als affines Bild eines gleichseitigen Dreiecks angesehen werden kann, ein Kreis bei einer affinen Abbildung in eine Ellipse und der Schwerpunkt eines Dreiecks in den Schwerpunkt des Bilddreiecks übergeht, gilt die Eigenschaft (genau eine Umellipse mit Mittelpunkt im Schwerpunkt) für alle Dreiecke.

Die Fläche des Umkreises eines gleichseitigen Dreiecks ist gleich dem  -fachen Flächeninhalt des Dreiecks. Bei einer affinen Abbildung bleiben Flächenverhältnisse unverändert. Also gilt diese Aussage über das Flächenverhältnis auch bei einem beliebigen Dreieck und seiner Steiner-Ellipse.

Konstruktion von konjugierten Halbmessern

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Um eine Ellipse zeichnen zu können, benötigt man wenigstens zwei konjugierte Halbmesser. Dann lassen sich

Die Scheitel und Halbachsen und daher auch die Exzentrizität lassen sich auch rechnerisch bestimmen.

 
Bild 1: Konstruktionsschritte einer zeichnerischen Bestimmung der Steiner-Ellipse
1) Scherung des Dreiecks zu einem gleichschenkligen
2) Bestimmung des Punktes   (Schritte 1–5)
3) Zeichnen der Ellipse mit Hilfe der konjugierten Halbmesser  

Zeichnerische Bestimmung der Steiner-Ellipse

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Es sei   ein Dreieck (Bild 1) und   dessen Schwerpunkt. Legt man durch   eine Parallele   zur Seite   und führt das Dreieck durch eine Scherung an   in ein gleichschenkliges Dreieck   über (s. Bild), so ist   ein Scheitel der Steiner-Ellipse des Dreiecks  . Ein weiterer Scheitel   dieser Ellipse liegt auf  , da   zu   (aus Symmetriegründen) senkrecht ist. Dieser Scheitel lässt sich aus den Daten (Ellipse mit Mittelpunkt   durch   und  ,  ) berechnen. Es ergibt sich:

 

Oder: Man bestimmt zeichnerisch mit Hilfe der Ellipsen-Konstruktion von de la Hire (s. mittleres Bild) den Scheitel   der Umellipse des gleichschenkligen Dreiecks  .
Macht man die Scherung rückgängig, geht   wieder in   über und   bleibt als Punkt der Scherachse fest. Damit ist   ein zu   konjugierter Halbmesser. I. A. stehen beide nicht senkrecht aufeinander.
Mit Hilfe dieser konjugierten Halbmesser lässt sich, wie oben beschrieben, die gesuchte Steiner-Ellipse zeichnen.

Alternative Konstruktion des zweiten Halbmessers

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Bild 2: Steiner-Ellipse, alternative Konstruktion des Halbmessers   mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks  

Gegeben sei das Dreieck   (Bild 2) und dessen Schwerpunkt  

Zuerst erfolgt die Berechnung des Halbmessers   Als Ansatz dient die allgemeine Formel für die Höhe   des gleichseitigen Dreiecks mit der Seite  

 

Die Hälfte dieses gleichseitigen Dreiecks ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der (gleichen) Höhe:

 

Setzt man       und    ein, ergibt dies das rechtwinklige Dreieck   mit der Höhe

 

umgeformt gilt

 

Es geht weiter mit der Konstruktion des rechtwinkligen Dreiecks  

Sie beginnt mit dem Einzeichnen einer Senkrechten (Orthogonalen) zu   ab dem Schwerpunkt   und dem Übertragen der Strecke   auf die Senkrechte; es ergibt die Strecke   Nun folgt die Konstruktion der Winkelweite   am Winkelscheitel   indem man die Strecke   in   halbiert, einen Kreisbogen mit Radius   um den Punkt   und einen weiteren Kreisbogen mit derselben Zirkelöffnung um den Punkt   zieht; dabei ergibt sich der Schnittpunkt   Durch das Einzeichnen einer Halbgeraden, ab   durch  , wird am Winkelscheitel   der Winkel   generiert. Die abschließende Parallele zur Strecke   ab dem Schwerpunkt   erzeugt den Schnittpunkt   auf der Halbgeraden und liefert somit den zu   konjugierten Halbmesser  

Die fünf Ellipsen-Punkte   und   ermöglichen das exakte Einzeichnen der Ellipsenlinie, z. B. mit Hilfe einer Dynamischen-Geometrie-Software (DGS).

Parameterdarstellung und Gleichung

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Steiner-Ellipse eines Dreiecks mit Achsen und Scheiteln (magenta)

Gegeben: Dreieck  
Gesucht: Parameterdarstellung und Gleichung der zugehörigen Steiner-Ellipse.

Der Schwerpunkt des Dreiecks ist  

Parameterdarstellung:

  • Aus den Überlegungen des vorigen Abschnitts ergibt sich die folgende Parameterdarstellung der Steiner-Ellipse:
 
  • Die 4 Scheitel der Ellipse sind
 
wobei sich   aus
  mit  
ergibt (s. Ellipse).

Die Rollen der Punkte bei der Aufstellung der Parameterdarstellung können beliebig vertauscht werden.

Beispiel (s. Bild):  

 
Steiner-Ellipse als Beispiel zu „Gleichung“

Gleichung:

Falls der Nullpunkt der Schwerpunkt ist, ist die Gleichung der Ellipse mit der Parameterdarstellung  [2]

 

mit

 .

Beispiel: Für das Dreieck   liegt der Schwerpunkt im Nullpunkt und es ist

 .

Die Gleichung der Steiner-Ellipse ist:

 

Berechnung der Halbachsen

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Hat man die Scheitel der Steiner-Ellipse schon bestimmt (s. vorigen Abschnitt), lassen sich daraus die Halbachsen berechnen. Ist man überhaupt nur an den Halbachsen interessiert, so führt die folgende Methode schneller zum Ziel:

Sind   die Halbachsen der Steiner-Ellipse, so folgt aus den Sätzen des Apollonios über Eigenschaften konjugierter Halbmesser von Ellipsen:

 

Bezeichnet man die jeweils rechte Seite mit   bzw.  , formt das nichtlineare Gleichungssystem (unter Berücksichtigung von  ) um zu

 
 

und löst nach   und   auf, so erhält man für die Halbachsen:

 
 

Außerdem gilt:

 
 

Für die lineare Exzentrizität der Steiner-Ellipse ergibt sich:

 

Der Flächeninhalt ist:

 

Trilineare und baryzentrische Gleichung

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Die Gleichung der Steiner-Umellipse in trilinearen Koordinaten ist[1]

 ,

wobei   die Seitenlängen des Dreiecks bezeichnen.

Eine besonders einfache Gleichung erhält man, wenn man baryzentrische Koordinaten verwendet:

 

Alternative Berechnung der Halbachsen und Brennpunkte

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Die Längen der großen und kleinen Halbachse für ein Dreieck mit Seitenlängen   sind[1]

 

mit der Abkürzung

 

Die lineare Exzentrizität ist

 .

Die Brennpunkte der Steiner-Ellipse sind die sogenannten Bickart-Punkte des Dreiecks.

Einzelnachweise

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  1. a b c d Eric W. Weisstein: Steiner Circumellipse. In: MathWorld (englisch).
  2. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 65.

Literatur

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  • Georg Glaeser, Hellmuth Stachel, Boris Odehnal: The Universe of conics. From the ancient Greeks to 21st century developments. Springer, 2016, ISBN 978-3-662-45449-7, S. 383.