Einstein-Smoluchowski-Beziehung

Beziehung in der kinetischen Gastheorie
(Weitergeleitet von Stokes-Einstein-Gleichung)

Die Einstein-Smoluchowski-Beziehung oder Nernst-Einstein-Beziehung[1], auch Einstein-Gleichung genannt, ist eine Beziehung im Bereich der kinetischen Gastheorie, die zuerst von Albert Einstein (1905) und danach von Marian Smoluchowski (1906) in seinen Schriften zur Brownschen Bewegung aufgedeckt wurde. Sie verknüpft den Diffusionskoeffizienten mit der Beweglichkeit der Teilchen:

Darin bezeichnet

Es handelt sich um ein frühes Beispiel für eine Fluktuations-Dissipations-Beziehung.

Diffusion von Teilchen

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In Bereichen mit niedriger Reynolds-Zahl ist die Beweglichkeit der Kehrwert des Strömungskoeffizienten  :

 

Die Stokessche Gleichung liefert für kugelförmige Teilchen mit Radius  :

 

wobei   die Viskosität des Mediums bezeichnet.

Damit lässt sich die Einstein-Gleichung umformen in:

 

Diese Form wird auch Stokes-Einstein-Gleichung genannt.

Sie kann z. B. genutzt werden, um den Diffusionskoeffizienten eines globulären Proteins in wässriger Lösung zu bestimmen: wenn wir eine Dichte von ca. 1,2 · 103 kg/m³ annehmen, erhalten wir für ein Protein von 100 kDa:  .

Elektrische Leitfähigkeit

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Bezogen auf die elektrische Leitfähigkeit definiert man zunächst die Elektronenbeweglichkeit:

 

wobei

Für einen Halbleiter mit beliebiger Zustandsdichte teilt man für gewöhnlich den rechten Teil der Gleichung durch die Ladung   des Ladungsträgers. Dann lautet die Einstein-Gleichung

 

mit

Diese Beziehung gilt ebenso für die Beweglichkeit von Ionen. Somit wird die Einstein-Gleichung zur „Nernst-Einstein-Beziehung“:

 

Literatur

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  • A. Einstein: Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen. In: Annalen der Physik. Band 322, Nr. 8, 1905, S. 549–560, doi:10.1002/andp.19053220806 (freier Volltext).
  • M. von Smoluchowski: Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen. In: Annalen der Physik. Band 326, Nr. 14, 1906, S. 756–780, doi:10.1002/andp.19063261405 (freier Volltext).

Einzelnachweise

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  1. W. Jost: Diffusion in Solids, Liquids, Gases. Academic Press, New York 1952, S. 139 ff. (englisch, archive.org).