Darstellungssatz für Boolesche Algebren

mathematischer Satz
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Der Darstellungssatz für Boolesche Algebren (auch: Darstellungssatz von Stone oder Stonescher Darstellungssatz) ist ein Satz aus der Verbandstheorie, der 1936 von dem US-amerikanischen Mathematiker Marshall Harvey Stone entdeckt wurde. Er besagt, dass jede boolesche Algebra zu einer Mengenalgebra isomorph ist, und zwar zu der booleschen Algebra der abgeschlossenen und zugleich offenen Mengen in einem so genannten Stone-Raum.

Sei   eine Boolesche Algebra. Dann gibt es eine Menge   und eine injektive Abbildung  , sodass für alle   gilt:

  •  ,  
  •  
  •  
  •  

Die Boolesche Algebra ist also isomorph zu der Mengenalgebra auf  .

Sei   die Menge aller Ultrafilter (im Sinne der Ordnungstheorie) auf  . Für   definiere  . Dann gilt:

  • Injektivität: Sei  , also   oder  . Ohne Einschränkung gelte  . Daher ist  , lässt sich also zu einem Ultrafilter erweitern. Dieser enthält   aber nicht  , also  
  •   und  , denn kein Ultrafilter enthält die   und jeder Ultrafilter enthält die  
  •  , weil für jeden Filter   gilt:  
  •  
    • " ": Sei   Ultrafilter mit  , angenommen  , also  , und daher  , dies steht im Widerspruch dazu, dass   Ultrafilter ist.
    • " ": Sei   Ultrafilter mit  , dann ist  , also   und  
  •  , weil  

Dualitätstheorie

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Der Darstellungssatz von Stone macht eigentlich eine noch präzisere Aussage und lässt sich zu einer Dualitätstheorie ausbauen, wie im unten angegebenen Lehrbuch von Paul Halmos ausgeführt wird.

Ist   eine Boolesche Algebra und steht   für die zweielementige Boolesche Algebra, so sei   der Raum der Homomorphismen  . Dieser Raum ist eine abgeschlossene Menge in  , wobei letzterer mit der Produkttopologie versehen sei. Daher ist   ein sogenannter Stone-Raum oder boolescher Raum, das ist ein total unzusammenhängender, kompakter Hausdorffraum; man nennt ihn den zu   dualen Raum. Aus diesem Grunde nennt man total unzusammenhängende, kompakte Hausdorffräume auch Boolesche Räume.

Ist umgekehrt   ein Stone-Raum, so sei   die Boolesche Algebra der offen-abgeschlossenen Mengen in  ; diese nennt man die zu   duale Boolesche Algebra.

Der Darstellungssatz von Stone sagt nun aus, dass jede Boolesche Algebra zu ihrem Bidual isomorph ist, das heißt zur dualen Algebra ihres dualen Raums. Daher kann man genauer sagen, dass jede Boolesche Algebra zu einer Mengenalgebra isomorph ist, wobei die Mengen genau die offen-abgeschlossenen Mengen eines Stone-Raumes sind.

Die Dualität gilt auch für die Stone-Räume: Jeder Boolesche Raum ist homöomorph zu seinem Bidual, das heißt zum dualen Raum seiner dualen Booleschen Algebra.

Darüber hinaus korrespondieren die Homomorphismen von der booleschen Algebra   in die boolesche Algebra   in natürlicher Weise mit den stetigen Abbildungen vom dualen Raum von   in den dualen Raum von  , das heißt, die Abbildung auf den dualen Raum lässt sich in natürlicher Weise zu einer kontravarianten Äquivalenz zwischen der Kategorie der booleschen Algebren und der Kategorie der Stone-Räume fortsetzen.

Literatur

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