Sylow-Sätze

mathematischer Satz
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Die Sylow-Sätze (nach Ludwig Sylow) sind drei mathematische Sätze aus der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Algebra. Sie erlauben es, Aussagen über Untergruppen von endlichen Gruppen zu treffen und auch einige Gruppen endlicher Ordnung zu klassifizieren.

Im Gegensatz zu endlichen zyklischen Gruppen kann man bei beliebigen endlichen Gruppen im Allgemeinen nichts über die Existenz und Anzahl von Untergruppen aussagen. Man weiß lediglich aus dem Satz von Lagrange, dass jede Untergruppe einer Gruppe eine Ordnung hat, die Teiler der Ordnung von ist. Die Sylowsätze liefern hier zusätzliche Aussagen, erlauben allerdings auch keine vollständige Klassifikation endlicher Gruppen. Diese vollzieht sich über die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen.

Neben Ludwig Sylow (1872) gaben unter anderem Eugen Netto und Alfredo Capelli Beweise.

Die Sätze

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Sei im Folgenden   eine endliche Gruppe der Ordnung  , wobei   eine Primzahl und   eine zu   teilerfremde natürliche Zahl seien. Eine maximale  -Untergruppe von   wird  -Sylowuntergruppe genannt.

  1. Für alle   besitzt   eine Untergruppe der Ordnung  . Insbesondere haben die maximalen  -Untergruppen von   die Ordnung  .
  2. Sei   eine  -Sylowuntergruppe. Dann enthält   von jeder Untergruppe  , die p-Gruppe ist, eine Konjugierte. Es gibt also ein   mit  .
  3. Die Anzahl der  -Sylowuntergruppen ist ein Teiler von   und von der Form   mit  .

Folgerungen

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  • Satz von Cauchy: Ist   eine Gruppe, deren Ordnung von einer Primzahl   geteilt wird, so gibt es in   ein Element der Ordnung  . Der Satz von Cauchy (1845) war der Ausgangspunkt von Sylow für seine Sätze, die diesen Satz von Cauchy erweiterten.
  • Je zwei  -Sylowgruppen einer Gruppe   sind konjugiert und damit isomorph.
  • Sei   eine Gruppe und   eine  -Sylowuntergruppe. Dann ist   genau dann Normalteiler von  , wenn   die einzige  -Sylowuntergruppe von   ist.
  • Sei   eine endliche Gruppe, deren Ordnung von einer Primzahl   geteilt wird. Ist   abelsch, so gibt es nur eine  -Sylowuntergruppe in  .

Beispiele

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Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch

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Sei   eine Gruppe der Ordnung  . Bezeichnet man mit   die Anzahl der 3-Sylowuntergruppen von   und mit   die Anzahl der 5-Sylowuntergruppen von  , so gilt:

  1.   und  , also muss   gelten.
  2.   und  , also muss   gelten.

Also sind die 3-Sylowuntergruppe   und die 5-Sylowuntergruppe   Normalteiler von G. Als p-Untergruppen zu verschiedenen Primzahlen ist ihr Durchschnitt  , wobei   das neutrale Element von   bezeichnet. Daher ist ihr Komplexprodukt direkt, das heißt   (s. Komplementäre Normalteiler und direktes Produkt). Da das direkte Produkt die Ordnung 15 hat, muss   sein, und mit dem chinesischen Restsatz folgt  .

Es gibt keine einfache Gruppe der Ordnung 162

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Sei  . Nach den Sylow-Sätzen existiert eine Untergruppe der Ordnung   (nämlich eine 3-Sylowgruppe). Diese ist von Index 2, also normal.   ist folglich nicht einfach.

Alternativ gilt   und  , sodass   und damit die 3-Sylowgruppe ein nicht-trivialer Normalteiler von   ist. Folglich kann   nicht einfach sein.

Literatur

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Wikibooks: Beweis der Sylow-Sätze – Lern- und Lehrmaterialien