Symplektischer Vektorraum

Lineare Algebra
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Ein symplektischer Vektorraum oder kurz symplektischer Raum ist in der linearen Algebra ein Vektorraum zusammen mit einer symplektischen Form, das heißt einer nichtausgearteten alternierenden Bilinearform. Während die symmetrische Bilinearform „Skalarprodukt“ die Länge von Vektoren misst, betrifft die alternierende Bilinearform die Flächengröße des von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms.

Definition

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Ein symplektischer Vektorraum über einem Körper   ist ein Vektorraum   zusammen mit einer Bilinearform  , die die folgenden beiden Eigenschaften besitzt:

  •   ist alternierend, das heißt   für alle  
  •   ist nicht ausgeartet, das heißt für jedes   existiert ein   mit  

Eine Bilinearform mit diesen beiden Eigenschaften wird auch symplektische Form genannt. Wegen

 

wechselt die alternierende Form bei Vertauschung ihrer Argumente ihr Vorzeichen.

Beispiele

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  • Ist   ein hermitesches Skalarprodukt auf einem komplexen Vektorraum V, so ist   eine symplektische Form auf V (als reeller Vektorraum aufgefasst).
  • Eine wichtige Klasse symplektischer Räume bilden die hyperbolischen Ebenen: Ist V zweidimensional mit Basis {v,w}, und gilt  , so heißt V oder das Tripel (V,v,w) eine hyperbolische Ebene. Es gilt dann
 

Klassifikation symplektischer Räume

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Mittels eines geeignet modifizierten Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahrens lässt sich zeigen: Jeder endlichdimensionale symplektische Vektorraum hat gerade Dimension 2n, und es gibt eine Basis   mit

 
 
  (Kronecker-Delta).

Insbesondere sind alle symplektischen Räume der Dimension 2n isometrisch.   und   spannen für jedes i eine hyperbolische Ebene auf, der ganze symplektische Raum ist also eine orthogonale direkte Summe hyperbolischer Ebenen. Eine Basis der obigen Form wird als Darboux-Basis oder symplektische Basis bezeichnet. In der Physik werden die Elemente ei und fi als „kanonisch-konjugiert“ bezeichnet (z. B. Orts- bzw. Impuls-Variablen) und das symplektische Skalarprodukt ist identisch mit der sogenannten Poisson-Klammer.

Die Automorphismen eines symplektischen Raumes bilden die symplektische Gruppe.

Symplektische Mannigfaltigkeit

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Symplektische Vektorräume sind die Grundlage für den Begriff der symplektischen Mannigfaltigkeit, der eine Rolle im Hamilton-Formalismus spielt.[1] Genauso wie die symplektischen Vektorräume werden auch die symplektischen Mannigfaltigkeiten kurz symplektische Räume genannt. Analog zur symplektischen Bilinearform gibt es auf diesen Mannigfaltigkeiten ebenfalls symplektische Formen; hierbei handelt es sich um spezielle Differentialformen (eine Verallgemeinerung der alternierenden Bilinearformen).

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. V. I. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics (= Graduate Texts in Mathematics 60). 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-96890-3.