Total geodätische Untermannigfaltigkeit

Total geodätische Untermannigfaltigkeiten kommen in der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, vor. Sie verallgemeinern den Begriff der Hyperebenen in euklidischen Räumen auf riemannsche Mannigfaltigkeiten.

Definition

Eine Untermannigfaltigkeit $N$ einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ heißt total geodätisch, wenn jede Geodäte in $N$ auch eine Geodäte in $M$ ist.

Eine äquivalente Bedingung ist, dass die zweite Fundamentalform von $N$ identisch $0$ ist.

Beispiele

• Wenn $f\colon M\rightarrow M$ eine Isometrie einer riemannschen Mannigfaltigkeit ist, dann ist die Fixpunkt-Menge

$N:=\left\{x\in M:f(x)=x\right\}$

eine total geodätische Untermannigfaltigkeit.

• Ebenen im euklidischen $\mathbb {R} ^{3}$ sind Fixpunkt-Mengen von Spiegelungen und deshalb total geodätische Flächen.
• Allgemeiner sind Untervektorräume des euklidischen $\mathbb {R} ^{n}$ total geodätisch.
• Großkreise auf der Sphäre sind ebenfalls Fixpunkt-Mengen von Spiegelungen und deshalb total geodätisch.
• Für $k<n$ ist der projektive Raum $P^{k}\mathbb {C}$ eine total geodätische Untermannigfaltigkeit von $P^{n}\mathbb {C}$ und $P^{k}\mathbb {R}$ eine total geodätische Untermannigfaltigkeit von $P^{n}\mathbb {R}$.
• Viele riemannsche Mannigfaltigkeiten besitzen keine total geodätischen Untermannigfaltigkeiten der Kodimension 1.
• Eine Fläche in einer hyperbolischen $3$-Mannigfaltigkeit ist homotop zu einer total geodätischen Fläche genau dann, wenn sie azylindrisch ist.
• Die total geodätischen Flächen hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten bilden dichte Teilmengen in den Teichmüller-Räumen geschlossener, orientierbarer Flächen.

Literatur

do Carmo, Manfredo Perdigão: Riemannian geometry. Translated from the second Portuguese edition by Francis Flaherty. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992, ISBN 0-8176-3490-8

Weblinks

• Manifold Atlas