Total geodätische Untermannigfaltigkeit

Total geodätische Untermannigfaltigkeiten kommen in der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, vor. Sie verallgemeinern den Begriff der Hyperebenen in euklidischen Räumen auf riemannsche Mannigfaltigkeiten.

Definition

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Eine Untermannigfaltigkeit   einer riemannschen Mannigfaltigkeit   heißt total geodätisch, wenn jede Geodäte in   auch eine Geodäte in   ist.

Eine äquivalente Bedingung ist, dass die zweite Fundamentalform von   identisch   ist.[1]

Beispiele

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  • Wenn   eine Isometrie einer riemannschen Mannigfaltigkeit ist, dann ist die Fixpunkt-Menge
 
eine total geodätische Untermannigfaltigkeit.
  • Ebenen im euklidischen   sind Fixpunkt-Mengen von Spiegelungen und deshalb total geodätische Flächen.
  • Allgemeiner sind Untervektorräume des euklidischen   total geodätisch.
  • Großkreise auf der Sphäre sind ebenfalls Fixpunkt-Mengen von Spiegelungen und deshalb total geodätisch.
  • Für   ist der projektive Raum   eine total geodätische Untermannigfaltigkeit von   und   eine total geodätische Untermannigfaltigkeit von  .
  • Viele riemannsche Mannigfaltigkeiten besitzen keine total geodätischen Untermannigfaltigkeiten der Kodimension 1.
  • Eine Fläche in einer hyperbolischen  -Mannigfaltigkeit ist homotop zu einer total geodätischen Fläche genau dann, wenn sie azylindrisch ist.
  • Die total geodätischen Flächen hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten bilden dichte Teilmengen in den Teichmüller-Räumen geschlossener, orientierbarer Flächen.[2]

Literatur

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do Carmo, Manfredo Perdigão: Riemannian geometry. Translated from the second Portuguese edition by Francis Flaherty. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992, ISBN 0-8176-3490-8

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Einzelnachweise

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  1. Jost, Jürgen: Riemannian geometry and geometric analysis. Sixth edition. Universitext. Springer, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-21297-0 (Theorem 3.4.3)
  2. Fujii, Michihiko; Soma, Teruhiko: Totally geodesic boundaries are dense in the moduli space. J. Math. Soc. Japan 49 (1997), no. 3, 589–601.