Ein Multipendel ist ein Pendel , an dessen Arm weitere Pendel gehängt sind. Es entsteht ein unvorhersehbares Bewegungsmuster, welches bereits bei geringfügigen Störungen stark variiert. Es lassen sich chaotische Prozesse leicht simulieren, weshalb es sich zu einem beliebten Modell in der Chaostheorie entwickelt hat.
Das Modell des Multipendels
n
{\displaystyle n}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
Bewegungsgleichungen des Multipendels n -ter Stufe
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Aufbau: Multipendel Die Bewegungsgleichungen für ein Multipendel
n
{\displaystyle n}
Lagrange-Formalismus zweiter Art herleiten.
Mittels Trigonometrie erhält man:
x
1
=
l
1
sin
φ
1
{\displaystyle x_{1}=l_{1}\sin \varphi _{1}}
y
1
=
−
l
1
cos
φ
1
{\displaystyle y_{1}=-l_{1}\cos \varphi _{1}}
x
2
=
l
1
sin
φ
1
+
l
2
sin
φ
2
{\displaystyle x_{2}=l_{1}\sin \varphi _{1}+l_{2}\sin \varphi _{2}}
y
2
=
−
l
1
cos
φ
1
−
l
2
cos
φ
2
{\displaystyle y_{2}=-l_{1}\cos \varphi _{1}-l_{2}\cos \varphi _{2}}
...
x
n
=
l
1
sin
φ
1
+
.
.
.
+
l
n
sin
φ
n
{\displaystyle x_{n}=l_{1}\sin \varphi _{1}+...+l_{n}\sin \varphi _{n}}
y
n
=
−
l
1
cos
φ
1
−
.
.
.
−
l
n
cos
φ
n
{\displaystyle y_{n}=-l_{1}\cos \varphi _{1}-...-l_{n}\cos \varphi _{n}}
Folglich können die kartesischen Koordinaten
(
x
k
|
y
k
)
{\displaystyle (x_{k}|y_{k})}
m
k
{\displaystyle m_{k}}
k
{\displaystyle k}
n
{\displaystyle n}
x
k
=
∑
i
=
1
k
l
i
sin
φ
i
{\displaystyle x_{k}=\sum _{i=1}^{k}l_{i}\sin \varphi _{i}}
x
˙
k
=
∑
i
=
1
k
l
i
φ
˙
i
cos
φ
i
{\displaystyle {\dot {x}}_{k}=\sum _{i=1}^{k}l_{i}{\dot {\varphi }}_{i}\cos \varphi _{i}}
y
k
=
−
∑
i
=
1
k
l
i
cos
φ
i
{\displaystyle y_{k}=-\sum _{i=1}^{k}l_{i}\cos \varphi _{i}}
y
˙
k
=
∑
i
=
1
k
l
i
φ
˙
i
sin
φ
i
{\displaystyle {\dot {y}}_{k}=\sum _{i=1}^{k}l_{i}{\dot {\varphi }}_{i}\sin \varphi _{i}}
Kinetische Energie
T
{\displaystyle T}
V
{\displaystyle V}
T
(
φ
1
,
.
.
.
,
φ
n
,
φ
˙
1
,
.
.
.
,
φ
˙
n
)
=
∑
k
=
1
n
m
k
2
(
x
˙
k
2
+
y
˙
k
2
)
{\displaystyle T(\varphi _{1},...,\varphi _{n},{\dot {\varphi }}_{1},...,{\dot {\varphi }}_{n})=\sum _{k=1}^{n}{\frac {m_{k}}{2}}({\dot {x}}_{k}^{2}+{\dot {y}}_{k}^{2})}
V
(
φ
1
,
.
.
.
,
φ
n
)
=
g
∑
k
=
1
n
m
k
y
k
{\displaystyle V(\varphi _{1},...,\varphi _{n})=g\sum _{k=1}^{n}m_{k}y_{k}}
Somit ist die Lagrange-Funktion
L
=
T
−
V
{\displaystyle L=T-V}
L
(
φ
1
,
.
.
.
,
φ
n
,
φ
˙
1
,
.
.
.
,
φ
˙
n
)
=
1
2
∑
k
=
1
n
m
k
[
(
∑
i
=
1
k
l
i
φ
˙
i
cos
φ
i
)
2
+
(
∑
i
=
1
k
l
i
φ
˙
i
sin
φ
i
)
2
]
+
g
∑
k
=
1
n
∑
i
=
1
k
m
k
l
i
cos
φ
i
{\displaystyle L(\varphi _{1},...,\varphi _{n},{\dot {\varphi }}_{1},...,{\dot {\varphi }}_{n})={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}m_{k}\left[\left(\sum _{i=1}^{k}l_{i}{\dot {\varphi }}_{i}\cos \varphi _{i}\right)^{2}+\left(\sum _{i=1}^{k}l_{i}{\dot {\varphi }}_{i}\sin \varphi _{i}\right)^{2}\right]+g\sum _{k=1}^{n}\sum _{i=1}^{k}m_{k}l_{i}\cos \varphi _{i}}
Die Bewegungsgleichungen des Multipendels n -ter Stufe ergeben sich aus
d
d
t
∂
L
∂
φ
˙
j
−
∂
L
∂
φ
j
=
0
{\displaystyle {d \over dt}{\partial {L} \over \partial {{\dot {\varphi }}_{j}}}-{\partial {L} \over \partial {\varphi _{j}}}=0}
bzw.
d
d
t
∂
T
∂
φ
˙
j
−
∂
∂
φ
j
(
T
−
V
)
=
0
{\displaystyle {d \over dt}{\partial {T} \over \partial {{\dot {\varphi }}_{j}}}-{\partial {} \over \partial {\varphi _{j}}}(T-V)=0}
für
j
{\displaystyle j}
n
{\displaystyle n}
Die Bewegungsgleichungen für die generalisierten Koordinaten (
φ
1
,
.
.
.
,
φ
n
{\displaystyle {\varphi _{1}},...,{\varphi _{n}}}
n
{\displaystyle n}
Differentialgleichungen zweiter Ordnung dar, welches für
n
>
1
{\displaystyle n>1}
Es kann bei
2
n
{\displaystyle 2n}
Startwerten
(
φ
1
(
t
=
0
)
,
.
.
.
,
φ
n
(
t
=
0
)
,
φ
˙
1
(
t
=
0
)
,
.
.
.
,
φ
˙
n
(
t
=
0
)
)
,
{\displaystyle \left(\varphi _{1}(t=0),...,\varphi _{n}(t=0),{\dot {\varphi }}_{1}(t=0),...,{\dot {\varphi }}_{n}(t=0)\right),}
mittels numerischer Verfahren gelöst werden. Zwecks Vereinfachung der Bewegungsgleichungen können Kleinwinkelnäherungen vorgenommen werden.
Für Stufen
n
>
1
{\displaystyle n>1}
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Für
n
=
1
{\displaystyle n=1}
mathematischen Pendels .
Hier ergeben sich kinetische Energie
T
{\displaystyle T}
V
{\displaystyle V}
T
(
φ
,
φ
˙
)
=
m
2
l
2
φ
˙
2
{\displaystyle T(\varphi ,{\dot {\varphi }})={\frac {m}{2}}l^{2}{\dot {\varphi }}^{2}}
V
(
φ
)
=
−
m
g
l
cos
φ
{\displaystyle V(\varphi )=-mgl\cos \varphi }
mit
m
:=
m
1
,
l
:=
l
1
,
φ
:=
φ
1
{\displaystyle m:=m_{1},l:=l_{1},\varphi :=\varphi _{1}}
Entsprechend ist die Bewegungsgleichung:
φ
¨
+
g
l
sin
φ
=
0
{\displaystyle {\ddot {\varphi }}+{\frac {g}{l}}\sin \varphi =0}
Mit der Kleinwinkelnäherung
sin
φ
≈
φ
{\displaystyle \sin \varphi \approx \varphi }
φ
¨
+
g
l
φ
=
0
{\displaystyle {\ddot {\varphi }}+{\frac {g}{l}}\varphi =0}
Eine zweckmäßige Lösung der Bewegungsgleichung ist
φ
(
t
)
=
φ
(
0
)
cos
(
g
l
t
+
α
)
{\displaystyle \varphi (t)=\varphi (0)\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t+\alpha \right)}
sodass bei bekannten Startbedingungen für den Parameter
α
{\displaystyle \alpha }
α
=
arcsin
(
−
φ
˙
(
0
)
φ
(
0
)
l
g
)
{\displaystyle \alpha =\arcsin \left(-{\frac {{\dot {\varphi }}(0)}{\varphi (0)}}{\sqrt {\frac {l}{g}}}\right)}
Das Pendel schwingt entsprechend harmonisch mit der Periode:
T
=
2
π
l
g
{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}
Der Fall
n
=
2
{\displaystyle n=2}
Doppelpendel dar.
Hier ergeben sich kinetische Energie
T
{\displaystyle T}
V
{\displaystyle V}
T
(
φ
1
,
φ
2
,
φ
˙
1
,
φ
˙
2
)
=
m
1
2
l
1
2
φ
˙
1
2
+
m
2
2
(
l
1
2
φ
˙
1
2
+
l
2
2
φ
˙
2
2
+
2
l
1
l
2
φ
˙
1
φ
˙
2
cos
(
φ
1
−
φ
2
)
)
{\displaystyle T(\varphi _{1},\varphi _{2},{\dot {\varphi }}_{1},{\dot {\varphi }}_{2})={\frac {m_{1}}{2}}l_{1}^{2}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}+{\frac {m_{2}}{2}}\left(l_{1}^{2}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}+l_{2}^{2}{\dot {\varphi }}_{2}^{2}+2l_{1}l_{2}{\dot {\varphi }}_{1}{\dot {\varphi }}_{2}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right)}
V
(
φ
1
,
φ
2
)
=
−
(
m
1
+
m
2
)
g
l
1
cos
φ
1
−
m
2
g
l
2
cos
φ
2
{\displaystyle V(\varphi _{1},\varphi _{2})=-(m_{1}+m_{2})gl_{1}\cos \varphi _{1}-m_{2}gl_{2}\cos \varphi _{2}}
Entsprechend sind die Bewegungsgleichungen:
m
2
l
2
φ
¨
2
cos
(
φ
1
−
φ
2
)
+
(
m
1
+
m
2
)
l
1
φ
¨
1
+
m
2
l
2
φ
˙
2
2
sin
(
φ
1
−
φ
2
)
+
(
m
1
+
m
2
)
g
sin
φ
1
=
0
{\displaystyle m_{2}l_{2}{\ddot {\varphi }}_{2}\cos \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)+\left(m_{1}+m_{2}\right)l_{1}{\ddot {\varphi }}_{1}+m_{2}l_{2}{\dot {\varphi }}_{2}^{2}\sin \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)+\left(m_{1}+m_{2}\right)g\sin \varphi _{1}=0}
und
l
2
φ
¨
2
+
l
1
φ
¨
1
cos
(
φ
1
−
φ
2
)
−
l
1
φ
˙
1
2
sin
(
φ
1
−
φ
2
)
+
g
sin
φ
2
=
0
{\displaystyle l_{2}{\ddot {\varphi }}_{2}+l_{1}{\ddot {\varphi }}_{1}\cos \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)-l_{1}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}\sin \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)+g\sin \varphi _{2}=0}
Ein Beispiel für ein Doppelpendel ist eine Glocke mit Klöppel.
Der Fall
n
=
3
{\displaystyle n=3}
Tripelpendel dar.
Hier ergibt sich die kinetische Energie
T
{\displaystyle T}
T
(
φ
1
,
φ
2
,
φ
3
,
φ
˙
1
,
φ
˙
2
,
φ
˙
3
)
=
m
1
+
m
2
+
m
3
2
l
1
2
φ
˙
1
2
+
m
2
+
m
3
2
l
2
2
φ
˙
2
2
+
m
3
2
l
3
2
φ
˙
3
2
+
(
m
2
+
m
3
)
l
1
l
2
φ
˙
1
φ
˙
2
cos
(
φ
1
−
φ
2
)
{\displaystyle T(\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},{\dot {\varphi }}_{1},{\dot {\varphi }}_{2},{\dot {\varphi }}_{3})={\frac {m_{1}+m_{2}+m_{3}}{2}}l_{1}^{2}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}+{\frac {m_{2}+m_{3}}{2}}l_{2}^{2}{\dot {\varphi }}_{2}^{2}+{\frac {m_{3}}{2}}l_{3}^{2}{\dot {\varphi }}_{3}^{2}+(m_{2}+m_{3})l_{1}l_{2}{\dot {\varphi }}_{1}{\dot {\varphi }}_{2}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}
+
m
3
l
1
l
3
φ
˙
1
φ
˙
3
cos
(
φ
1
−
φ
3
)
+
m
3
l
2
l
3
φ
˙
2
φ
˙
3
cos
(
φ
2
−
φ
3
)
{\displaystyle +m_{3}l_{1}l_{3}{\dot {\varphi }}_{1}{\dot {\varphi }}_{3}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{3})+m_{3}l_{2}l_{3}{\dot {\varphi }}_{2}{\dot {\varphi }}_{3}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{3})}
Für das Potential
V
{\displaystyle V}
V
(
φ
1
,
φ
2
,
φ
3
)
=
−
(
m
1
+
m
2
+
m
3
)
g
l
1
cos
φ
1
−
(
m
2
+
m
3
)
g
l
2
cos
φ
2
−
m
3
g
l
3
cos
φ
3
{\displaystyle V(\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3})=-(m_{1}+m_{2}+m_{3})gl_{1}\cos \varphi _{1}-(m_{2}+m_{3})gl_{2}\cos \varphi _{2}-m_{3}gl_{3}\cos \varphi _{3}}
Entsprechend sind die Bewegungsgleichungen:
m
3
l
3
φ
¨
3
cos
(
φ
1
−
φ
3
)
+
(
m
2
+
m
3
)
l
2
φ
¨
2
cos
(
φ
1
−
φ
2
)
+
(
m
1
+
m
2
+
m
3
)
l
1
φ
¨
1
+
m
3
l
3
φ
˙
3
2
sin
(
φ
1
−
φ
3
)
{\displaystyle m_{3}l_{3}{\ddot {\varphi }}_{3}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{3})+(m_{2}+m_{3})l_{2}{\ddot {\varphi }}_{2}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+(m_{1}+m_{2}+m_{3})l_{1}{\ddot {\varphi }}_{1}+m_{3}l_{3}{\dot {\varphi }}_{3}^{2}\sin(\varphi _{1}-\varphi _{3})}
+
(
m
2
+
m
3
)
l
2
φ
˙
2
2
sin
(
φ
1
−
φ
2
)
+
(
m
1
+
m
2
+
m
3
)
g
sin
φ
1
=
0
{\displaystyle +(m_{2}+m_{3})l_{2}{\dot {\varphi }}_{2}^{2}\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})+(m_{1}+m_{2}+m_{3})g\sin \varphi _{1}=0}
und
m
3
l
3
φ
¨
3
cos
(
φ
2
−
φ
3
)
+
(
m
2
+
m
3
)
l
2
φ
¨
2
+
(
m
2
+
m
3
)
l
1
φ
¨
1
cos
(
φ
1
−
φ
2
)
−
(
m
2
+
m
3
)
l
1
φ
˙
1
2
sin
(
φ
1
−
φ
2
)
{\displaystyle m_{3}l_{3}{\ddot {\varphi }}_{3}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{3})+(m_{2}+m_{3})l_{2}{\ddot {\varphi }}_{2}+(m_{2}+m_{3})l_{1}{\ddot {\varphi }}_{1}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})-(m_{2}+m_{3})l_{1}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})}
+
m
3
l
3
φ
˙
3
2
sin
(
φ
2
−
φ
3
)
+
(
m
2
+
m
3
)
g
sin
φ
2
=
0
{\displaystyle +m_{3}l_{3}{\dot {\varphi }}_{3}^{2}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{3})+(m_{2}+m_{3})g\sin \varphi _{2}=0}
und
l
3
φ
¨
3
+
l
2
φ
¨
2
cos
(
φ
2
−
φ
3
)
+
l
1
φ
¨
1
cos
(
φ
1
−
φ
3
)
−
l
2
φ
˙
2
2
sin
(
φ
2
−
φ
3
)
−
l
1
φ
˙
1
2
sin
(
φ
1
−
φ
3
)
+
g
sin
φ
3
=
0
{\displaystyle l_{3}{\ddot {\varphi }}_{3}+l_{2}{\ddot {\varphi }}_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{3})+l_{1}{\ddot {\varphi }}_{1}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{3})-l_{2}{\dot {\varphi }}_{2}^{2}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{3})-l_{1}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}\sin(\varphi _{1}-\varphi _{3})+g\sin \varphi _{3}=0}
Simulation:
n
=
1
{\displaystyle n=1}
Simulation:
n
=
2
{\displaystyle n=2}
Simulation:
n
=
3
{\displaystyle n=3}
Georg Hamel: Theoretische Mechanik . Springer, Berlin 1967. Berichtiger Reprint 1978, ISBN 3-540-03816-7
Friedhelm Kuypers: Klassische Mechanik . 5. Auflage. VCH, Weinheim 1997, ISBN 3-527-29269-1
Landau / Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik. Band 1: Mechanik . 14. Auflage. Deutsch, Thun 1997, ISBN 3-8171-1326-9 
![{\displaystyle L(\varphi _{1},...,\varphi _{n},{\dot {\varphi }}_{1},...,{\dot {\varphi }}_{n})={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}m_{k}\left[\left(\sum _{i=1}^{k}l_{i}{\dot {\varphi }}_{i}\cos \varphi _{i}\right)^{2}+\left(\sum _{i=1}^{k}l_{i}{\dot {\varphi }}_{i}\sin \varphi _{i}\right)^{2}\right]+g\sum _{k=1}^{n}\sum _{i=1}^{k}m_{k}l_{i}\cos \varphi _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5864004a43716bfd3db60cd612f8ca0ae6096e4d)
Simulation:
Simulation:
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