Weierstraßsche ℘-Funktion

In der Mathematik bezeichnet die Weierstraßsche ℘-Funktion (sprich „… p-Funktion“, siehe Weierstraß-p) eine bestimmte elliptische Funktion in Abhängigkeit eines Gitters. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Karl Weierstraß. Mithilfe der Weierstraßschen ℘-Funktion und ihrer Ableitung lassen sich elliptische Kurven über den komplexen Zahlen parametrisieren.

Definition

Graph der ℘-Funktion mit den Invarianten $g_{2}=1+i$ und $g_{3}=2-3i$, wobei die weißen Stellen für Pole und die schwarzen für Nullstellen stehen

Seien $\omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ zwei komplexe Zahlen, welche über $\mathbb {R}$ linear unabhängig sind und sei $\Lambda :=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ das Gitter, das von $\omega _{1}$ und $\omega _{2}$ erzeugt wird. Dann ist die ℘-Funktion zum Gitter $\Lambda$ wie folgt definiert:

$\wp (z,\omega _{1},\omega _{2}):=\wp (z,\Lambda ):={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)$

Die Reihe konvergiert lokal gleichmäßig absolut in $\mathbb {C} \setminus \Lambda$. Häufig wird statt $\wp (z,\omega _{1},\omega _{2})$ auch nur $\wp (z)$ geschrieben.

Die Weierstraßsche ℘-Funktion ist gerade so konstruiert, dass sie einen Pol der Ordnung 2 an jeder Stelle $\lambda \in \Lambda$ hat. Da die Summe $\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}$ alleine nicht absolut konvergieren würde, ist es nötig, den Term $-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}$ hinzuzufügen.

Motivation

Eine Kubik der Form $C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x+g_{3}\}$, wobei $g_{2},g_{3}\in \mathbb {C}$ komplexe Zahlen sind mit $g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0$, lässt sich nicht rational parametrisieren. Dennoch würde man gerne eine Parametrisierung finden.

Für die Quadrik $K=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}$, also den Einheitskreis, existiert bekanntlich eine (nichtrationale) Parametrisierung durch die Sinusfunktion und deren Ableitung, die Kosinusfunktion:

$\psi :\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to K$, $t\mapsto (\sin(t),\cos(t))$.

Wegen der Periodizität des Sinus und des Kosinus ist hier $\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$ als Definitionsbereich gewählt, um eine injektive Abbildung zu erhalten.

Auf ganz analoge Weise erhält man auch eine Parametrisierung der Kubik $C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }$ mit der doppeltperiodischen ℘-Funktion (siehe im Abschnitt „Zusammenhang mit elliptischen Kurven“). Diese Parametrisierung hat dann den Definitionsbereich $\mathbb {C} /\Lambda$, was topologisch einem Torus entspricht.

Es gibt noch eine weitere Analogie zu den trigonometrischen Funktionen. Betrachtet man die Integralfunktion

$a(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dy}{\sqrt {(1-y^{2})}}}$,

dann lässt sich diese durch die Substitution $y=\sin(t)$ und $s=\arcsin(x)$ vereinfachen. Dadurch ergibt sich:

$a(x)=\int _{0}^{s}dt=s=\arcsin(x)$

Das bedeutet, $a^{-1}(x)=\sin(x)$. Also erhält man den Sinus als Umkehrfunktion einer Integralfunktion.

Auch elliptische Funktionen sind Umkehrfunktionen von Integralfunktionen, den elliptischen Integralen. Insbesondere erhält man die ℘-Funktion auf folgende Weise:

Sei

$u(z)=-\int _{z}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}$.

Dann lässt sich $u^{-1}$ auf die komplexe Ebene fortsetzen und entspricht der ℘-Funktion.

Eigenschaften

• ℘ ist eine gerade Funktion. Das heißt, es gilt $\wp (z)=\wp (-z)$ für alle $z\in \mathbb {C} \setminus \Lambda$, wie man auf folgende Weise sieht:

$\wp (-z)={\frac {1}{(-z)^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(-z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z+\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)=\wp (z)$

Die vorletzte Gleichheit folgt daraus, dass $\{-\lambda :\lambda \in \Lambda \}=\Lambda$. Da die Summe absolut konvergiert, ändert diese Umordnung am Grenzwert nichts.

• ℘ ist meromorph und die Ableitung ist gegeben durch

$\wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}$.

• $\wp$ und $\wp '$ sind doppeltperiodisch mit den Perioden $\omega _{1}$ und $\omega _{2}$. Das bedeutet, es gilt:

$\wp (z+\omega _{1})=\wp (z)=\wp (z+\omega _{2})$ und $\wp '(z+\omega _{1})=\wp '(z)=\wp '(z+\omega _{2})$.

Daraus folgt, dass für alle $\lambda \in \Lambda$ gilt: $\wp (z+\lambda )=\wp (z)$ und $\wp '(z+\lambda )=\wp '(z)$. Funktionen, die meromorph und doppeltperiodisch sind, nennt man auch elliptische Funktionen.

Laurent-Entwicklung

Sei $r:=\min\{{|\omega }|:\omega \neq 0\}$. Dann hat die ℘-Funktion für $0<|z|<r$ folgende Laurent-Reihe:

$\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)G_{2n+2}z^{2n}$,

wobei

$G_{n}=\sum _{0\neq \omega \in \Lambda }\omega ^{-n}$ für $n\geq 3$ sogenannte Eisensteinreihen sind.

Differentialgleichung

Wir setzen $g_{2}=60G_{4}$ und $g_{3}=140G_{6}$. Dann erfüllt die ℘-Funktion folgende Differentialgleichung:

$\wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}$.

Dies lässt sich verifizieren, indem man den Pol an der Stelle $z=0$ durch eine Linearkombination von Potenzen von $\wp$ und $\wp '$ eliminiert. Dann erhält man eine ganze, elliptische Funktion, die nach dem Satz von Liouville konstant sein muss.

Invarianten und modulare Diskriminante

Die Koeffizienten $g_{2}$ und $g_{3}$, die in der Differentialgleichung auftauchen, heißen die Invarianten. Man betrachtet $g_{2}$ und $g_{3}$ als Funktionen in $\omega _{1}$ und $\omega _{2}$ und definiert die Diskriminante $\Delta :=g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}$.

Wie man an der Eisensteinreihe erkennen kann, sind $g_{2}$ und $g_{3}$ homogene Funktionen vom Grad −4 und −6. Das heißt, es gilt:

$g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})$, $g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})$, $\Delta (\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-12}\Delta (\omega _{1},\omega _{2})$ für $\lambda \neq 0$.

Wenn $\omega _{1}$ und $\omega _{2}$ so gewählt sind, dass $\operatorname {Im} \left({\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)>0$, können $g_{2},g_{3}$ und $\Delta$ als Funktionen in einer komplexen Variablen in der oberen Halbebene $\mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}$ aufgefasst werden.

Dazu setzt man $\tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}$ und erhält:

$g_{2}(1,\tau )=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})$, $g_{3}(1,\tau )=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})$ und $\Delta (1,\tau )=\omega _{1}^{12}\Delta (\omega _{1},\omega _{2})$.

Also werden $g_{2}$, $g_{3}$ und $\Delta$ dadurch nur skaliert. Man setzt nun:

$g_{2}(\tau ):=g_{2}(1,\tau )$, $g_{3}(\tau ):=g_{3}(1,\tau )$, $\Delta (\tau ):=\Delta (1,\tau )$

Damit erhält man sogenannte Modulformen. Auch die ℘-Funktion kann auf diese Weise als Modulform aufgefasst werden.

Zusammenhang mit elliptischen Kurven

Siehe auch: Elliptische Kurve

Sei ein Gitter $\Lambda :=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}$, wobei $\omega _{1},\omega _{2},g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ komplexe Zahlen sind, sodass $\omega _{1}$ und $\omega _{2}$ linear unabhängig über $\mathbb {R}$ sind.

Betrachte nun die ebene kubische Kurve

$C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x+g_{3}\}$

bzw. die projektive Kurve

${\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x+g_{3}\}\cup \{\infty \}\subset \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}$.

Für diese Kubiken, auch Weierstraßkubiken genannt, existieren keine Parametrisierungen durch rationale Funktionen, falls $\Delta \neq 0$ ist. Trotzdem gibt es eine explizite Parametrisierung mittels der ℘-Funktion und ihrer Ableitung $\wp '$.

Damit erhält man die Abbildung

$\varphi :\mathbb {C} \setminus \Lambda \to C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },z\mapsto (\wp (z),\wp '(z))$.

Indem man das Gitter $\Lambda$ auf den Punkt $\infty$ abbildet, kann die Abbildung fortgesetzt werden zu

$\varphi :\mathbb {C} \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }$.

Aufgrund der Periodizität von $\wp$ und $\wp '$ ist diese Abbildung jedoch nicht injektiv. Wählt man stattdessen $\mathbb {C} /\Lambda$, erhält man dann die Abbildung

${\tilde {\varphi }}:\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }$.

$\mathbb {C} /\Lambda$ ist dabei sowohl eine abelsche Gruppe als auch ein topologischer Raum, versehen mit der Quotiententopologie.

Die Abbildung ${\tilde {\varphi }}$ ist nun bijektiv und parametrisiert die Kurve ${\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }$.

Weiter lässt sich zeigen, dass jede glatte Weierstraßkubik auf diese Weise gegeben ist. Also dass es für jedes Paar $g_{2},g_{3}\in \mathbb {C}$ mit $\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0$ ein Gitter $\Lambda :=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ gibt, sodass

$g_{2}=g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})$ und $g_{3}=g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})$.

Die Aussage, dass alle elliptischen Kurven über $\mathbb {Q}$ durch Modulformen über $\mathbb {Q}$ parametrisiert werden können, ist als Modularitätssatz bekannt. Dieser Satz ist von großer Bedeutung in der Zahlentheorie. Andrew Wiles konnte mit einem Teilbeweis des Modularitätssatzes 1995 den Großen Fermatschen Satz beweisen.

Additionstheoreme

Seien $z,w\in \mathbb {C}$, sodass $z,w,z+w,z-w\notin \Lambda$. Dann gilt:

$\wp (z+w)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(z)-\wp '(w)}{\wp (z)-\wp (w)}}\right]^{2}-\wp (z)-\wp (w)$.

Darüber hinaus gibt es noch die Verdopplungsformel:

$\wp (2z)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right]^{2}-2\wp (z)$.

Diese Formeln haben auch eine geometrische Bedeutung, wenn man wie im vorherigen Abschnitt die elliptische Kurve ${\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }$ zusammen mit der Abbildung ${\tilde {\varphi }}:\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }$ betrachtet.

$\mathbb {C} /\Lambda$ ist als Faktorgruppe selbst eine Gruppe. Diese Gruppenstruktur überträgt sich auch auf die Kurve ${\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }$ (siehe Gruppenoperationen auf elliptischen Kurven) und kann dort geometrisch interpretiert werden.

Damit ist ${\tilde {\varphi }}$ dann insbesondere ein Gruppenisomorphismus. Nun lässt sich das Additionstheorem auch auf folgende Weise geometrisch formulieren:

Die Summe dreier paarweise verschiedener Punkte $a,b,c\in {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }$ist genau dann Null, wenn sie auf einer gemeinsamen Geraden in $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}$ liegen.

Dies ist äquivalent dazu, dass gilt:

$\det \left({\begin{array}{rrr}1&\wp (u+v)&-\wp '(u+v)\\1&\wp (v)&\wp '(v)\\1&\wp (u)&\wp '(u)\\\end{array}}\right)=0$,

wobei $\wp (u)=a$, $\wp (v)=b$ und $u,v\notin \Lambda$ gelte.

Siehe auch

• äquianharmonischer Fall