Wesentlich surjektiver Funktor

Ein wesentlich surjektiver Funktor ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.

Definition

Ein Funktor $F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ zwischen zwei Kategorien ${\mathcal {C}}$ und ${\mathcal {D}}$ heißt wesentlich surjektiv (oder dicht), falls zu jedem Objekt $D$ in ${\mathcal {D}}$ ein Objekt $C$ in ${\mathcal {C}}$ existiert, so dass $F(C)$ isomorph ist zu $D$.

Beispiele

• Jede Äquivalenz von Kategorien liefert einen wesentlich surjektiven Funktor, denn ein Funktor ist genau dann eine Äquivalenz, wenn er volltreu und wesentlich surjektiv ist.
• Umgekehrt lässt sich die wesentliche Surjektivität auch durch Äquivalenz charakterisieren: Ein Funktor $F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ ist genau dann wesentlich surjektiv, wenn die vom Bild der Objekte in ${\mathcal {C}}$ erzeugte volle Unterkategorie von ${\mathcal {D}}$ äquivalent zu ${\mathcal {D}}$ ist.
• Ist $K$ ein Körper, ${\mathcal {C}}$ die Kategorie der Vektorräume $K^{n}$ (im Sinne der $n$-fachen direkten Summe), $n$ Kardinalzahl, und ${\mathcal {D}}$ die Kategorie aller $K$-Vektorräume, so ist die Einbettung ${\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ wesentlich surjektiv, denn nach Ergebnissen der linearen Algebra ist jeder $K$-Vektorraum isomorph zu einem $K^{n}$.
• Ist $K$ der Körper der reellen oder der komplexen Zahlen, ${\mathcal {D}}$ die Kategorie der Hilberträume über $K$ mit den isometrischen Isomorphismen und ${\mathcal {C}}$ die Kategorie der Mengen mit den bijektiven Abbildungen, so ist nach dem Satz von Fischer-Riesz der Funktor $\ell ^{2}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ wesentlich surjektiv.