Breusch-Pagan-Test

Der Breusch-Pagan-Test und sein Spezialfall, der White-Test, sind statistische Tests zur Prüfung von Heteroskedastizität. Sie werden insbesondere zur Überprüfung der Voraussetzung der Homoskedastizitätsannahme in der Regressionsanalyse eingesetzt.

Breusch-Pagan-Test

Betrachtet man das (multiple) lineare Modell $Y_{t}=\beta _{0}+\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}x_{tj}+U_{t}$ mit normalverteilten Fehlern $U_{t}\sim {\mathcal {N}}(0;\sigma _{t}^{2})$. Dann wird die Fehlervarianz als

$\sigma _{t}^{2}=h\left(\alpha _{0}+\sum _{k=1}^{q}\alpha _{k}z_{kt}\right)$

modelliert. Liegt Homoskedastizität ($\sigma _{t}^{2}=\sigma _{U}^{2}$) vor, dann müssen die Koeffizienten $\alpha _{k}$ bis auf den konstanten Term Null sein.

Damit ergeben sich die Hypothesen als

$H_{0}:\alpha _{k}=0$ für alle $k=1,\ldots ,q$ vs.

$H_{1}:\alpha _{k}\neq 0$ für mindestens ein $k$.

Die Teststatistik ergibt sich als Score- oder Lagrange-Multiplikator-Test in Anwendung der Maximum-Likelihood-Methode und ist damit $\chi _{q}^{2}$-verteilt.

In der Praxis müssen die Variablen $Z_{k}$ entweder vorgegeben werden oder aber es wird eine Schätzung der Form ${\hat {u}}_{t}^{2}=\epsilon _{0}+\epsilon _{1}{\hat {y}}_{t}$ betrachtet.

Der Breusch-Pagan-Test reagiert sensitiv auf Verletzung der Normalverteilungsannahme der Residuen.

Einfache lineare Regression, Diagramm der Residuen und der quadrierten Residuen der Boston-Housing-Daten. Die rote Linie im rechten Diagramm zeigt, dass die quadrierten Residuen nicht-linear von der erklärenden Variable abhängen, also Heteroskedastizität vorliegt.

White-Test

Der White-Test ist ein Spezialfall des Breusch-Pagan-Tests, da hier die Fehlervarianzen als

$\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}x_{tk}+\sum _{k<l=1}^{p}\beta _{kl}x_{tk}x_{tl}$

modelliert werden. Die Hypothesen sind

$H_{0}:$ alle Koeffizienten außer $\alpha _{0}$ sind gleich Null vs.

$H_{1}:$ wenigstens ein Koeffizient außer $\alpha _{0}$ ist ungleich Null.

Zur Durchführung des White-Tests sollte die Zahl der Beobachtungen deutlich größer sein als die Zahl der Koeffizienten $\alpha _{k}$ und $\beta _{kl}$. Ansonsten muss man die Interaktionsterme $X_{k}X_{l}$ im Modell weglassen. Auch Dummy-Variablen werden wegen Multikollinearität nicht in die Interaktionsterme aufgenommen.

Der White-Test reagiert weniger sensitiv auf Verletzung auf der Normalverteilungsannahme der Residuen als der Breusch-Pagan-Test.