Satz von Wolstenholme

Der Satz von Wolstenholme (nach Joseph Wolstenholme) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Er lautet:

Ist $p\geq 5$ eine Primzahl, so hat die harmonische Zahl

$H(p-1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots +{\frac {1}{p-1}}$

einen durch $p^{2}$ teilbaren Zähler (in vollständig gekürzter und daher auch in jeder anderen Darstellung als Quotient zweier ganzer Zahlen).

Beispiele, andere Formulierungen, Folgerungen

Zur Veranschaulichung einige Beispiele:

• $p=7{\text{:}}\quad 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {49}{20}},$ der Zähler $49=1\cdot 7^{2}$ ist durch $7^{2}$ teilbar.
• $p=13{\text{:}}\quad 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}+{\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{12}}={\tfrac {86021}{27720}},$ der Zähler $86021=509\cdot 13^{2}$ ist durch $13^{2}$ teilbar.

Der Satz von Wolstenholme ist äquivalent zu der Aussage, dass der Zähler von

$1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{(p-1)^{2}}}$

durch $p$ teilbar ist.

Eine Folgerung aus dem Satz ist die Kongruenz

${\binom {2p}{p}}\equiv 2\mod {p^{3}},$

die auch in der Form

${\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1\mod {p^{3}}$

geschrieben werden kann.

Wolstenholme-Primzahlen

Eine Wolstenholme-Primzahl p ist eine Primzahl, die eine stärkere Fassung des Satzes von Wolstenholme erfüllt, genauer: die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• Der Zähler von

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dots +{\frac {1}{p-1}}$

ist durch $p^{3}$ teilbar.

• Der Zähler von

$1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots +{\frac {1}{(p-1)^{2}}}$

ist durch $p^{2}$ teilbar.

• Es gilt die Kongruenz

${\binom {2p}{p}}\equiv 2\mod {p^{4}}.$

• Es gilt die Kongruenz

${\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1\mod {p^{4}}.$

• Der Zähler der Bernoulli-Zahl $B_{p-3}$ ist durch $p$ teilbar.

Die beiden bisher einzigen bekannten Wolstenholme-Primzahlen sind 16843 (Selfridge und Pollack 1964) und 2124679 (Buhler, Crandall, Ernvall und Metsänkylä 1993). Jede weitere Wolstenholme-Primzahl müsste größer als 10⁹ sein. Es wurde die Vermutung aufgestellt, dass unendlich viele Wolstenholme-Primzahlen existieren, und zwar etwa $\log(\log(x))$ unterhalb $x$ (McIntosh 1995).

Verwandter Begriff

Betrachtet man nur Summanden mit ungeradem Nenner, also die Summe

$1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\dots +{\frac {1}{p-2}}$

für eine Primzahl $p\geq 3$, so ist der Zähler genau dann durch $p$ teilbar, wenn die stärkere Form

$2^{p-1}\equiv 1\mod {p^{2}}$

des Satzes von Euler-Fermat gilt. Derartige Primzahlen heißen Wieferich-Primzahlen.

Geschichte

Aus dem Satz von Wilson folgt die Kongruenz

${\binom {np-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p}}$

für jede Primzahl $p$ und jede natürliche Zahl $n.$

Charles Babbage bewies 1819 die Kongruenz

${\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}$

für jede Primzahl $p>2.$

Joseph Wolstenholme bewies 1862 die Kongruenz

${\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}$

für jede Primzahl $p>3.$

Literatur

• G. H. Hardy, E. M. Wright: An introduction to the theory of numbers. 6. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2008, ISBN 978-0-19-921985-8 (englisch; revidiert von D. R. Heath-Brown und J. H. Silverman).

Weblinks

• The Prime Glossary: Wolstenholme prime (englisch)
• Eric W. Weisstein: Wolstenholme’s Theorem. In: MathWorld (englisch).