In der statistischen Physik werden Matrizen , welche der Yang-Baxter-Gleichung (nach C. N. Yang[1] und Rodney Baxter[2]):

genügen, als R-Matrizen bezeichnet.

In der Mathematik werden R-Matrizen zur Konstruktion von Quanteninvarianten in der Knotentheorie verwendet.

Beschreibung der Yang-Baxter-Gleichung in Koordinaten

Bearbeiten
 
Veranschaulichung der Yang-Baxter-Gleichung

Eine  -Matrix   mit Einträgen   kann als Endomorphismus des   mit Basis   aufgefasst werden, also

 .

Die Yang-Baxter-Gleichung lässt sich schreiben als

 ,

wobei   der Endomorphismus von   ist, der auf den Faktoren   als   wirkt und auf dem dritten Faktor als Identitätsabbildung. Also

 

und

 .

R-Matrizen in der Quantenmechanik

Bearbeiten

Ein eindimensionales quantenmechanisches System ist genau dann integrabel, wenn seine Streumatrix der Yang-Baxter-Gleichung genügt, also eine R-Matrix ist.

R-Matrizen in der Knotentheorie

Bearbeiten

Jede R-Matrix kann zur Konstruktion einer Quanteninvariante von Knoten verwendet werden.

Literatur

Bearbeiten

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Yang, Some exact results for the many-body problem in one dimension with delta-function interaction, Phys. Rev. Lett., Band 19, 1967, S. 1312–1314, doi:10.1103/PhysRevLett.19.1312
  2. Baxter, Solvable eight-vertex model on an arbitrary planar lattice, Phil. Trans. Royal Soc., Band 289, 1978, S. 315–346, doi:10.1098/rsta.1978.0062, JSTOR:75051