Ähnlichkeitsdifferentialgleichung

Differentialgleichung

In der Mathematik ist eine Ähnlichkeitsdifferentialgleichung (auch homogene Differentialgleichung oder Euler-homogene Differentialgleichung) eine Differentialgleichung der Form

für eine stetige Funktion .

Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen   werden mit der Transformation   in die Differentialgleichung

 

überführt, die mit der Methode der Trennung der Variablen gelöst werden kann.

Beispiele

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  1. Die Differentialgleichung   wird mit der Transformation   in die Differentialgleichung   mit den Lösungen   überführt. Die Lösungen der ursprünglichen Differentialgleichung sind also von der Form   mit einer Konstanten  .
  2. Die Differentialgleichung   wird mit der Transformation   in die Differentialgleichung   mit den Lösungen   überführt. Die Lösungen der ursprünglichen Differentialgleichung sind also von der Form   mit einer Konstanten  .
  3. Die Differentialgleichung   ist eine Ähnlichkeitsdifferentialgleichung, weil sie in der Form   geschrieben werden kann. Mit   erhält man die Differentialgleichung   mit den Lösungen  , also   mit einer Konstanten  .
  4. Gesucht ist eine Kurve in der  Ebene, so dass für jeden Punkt auf der Kurve seine Entfernung vom Ursprung gleich der  Koordinate des Schnittpunkts seiner Tangente mit der  Achse ist. Dies führt auf die Differentialgleichung  , die zur Ähnlichkeitsdifferentialgleichung   äquivalent ist. Mit   erhält man die Differentialgleichung  , deren Lösungen von der Form   sind. Die Lösungen der ursprünglichen Differentialgleichung sind mit   also von der Form   mit einer positiven Konstanten  .
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