σ-Subadditivität

Eigenschaft einer Mengenfunktion

Die σ-Subadditivität ist in der Maßtheorie eine Eigenschaft einer Mengenfunktion, also einer Funktion, deren Argumente Mengen sind - sie wird σ-subadditive Funktion genannt.

Definition

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Gegeben sei ein Mengensystem   auf der Grundmenge  , also  . Eine Abbildung

 

heißt σ-subadditiv, wenn für jede Folge von Mengen   aus   und jedes   mit   gilt, dass

 

ist.[1] Man beachte, dass es hierbei nicht notwendig ist,   zu fordern.

Beispiele

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Jedes äußere Maß ist gemäß Definition σ-subadditiv. Für Prämaße auf Ringen (und somit auch für Maße auf σ-Algebren) ergibt sich die σ-Subadditivität aus der definierenden Eigenschaft der σ-Additivität.

 
  • Sand
  • Wasser
  • Wasser-Sand-Gemisch

  • Alltagsbeispiel für Sigma-Subadditivität: wird Sand mit Wasser zusammen gemischt, so ist das Schüttvolumen des Gemisches kleiner als die Summe der einzelnen Volumen, da sich das Wasser in die Zwischenräume zwischen den Sandkörnern einlagern kann. Beim Mischen von Ethanol mit Wasser beruht der Wirkmechanismus (anders als im Bild) auf der Wechselwirkung der Teilchen, siehe Volumenkontraktion.

    Siehe auch

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    Literatur

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    Einzelnachweise

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    1. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-36018-3, S. 12 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).