(37,9,2)-Blockplan

symmetrischer Blockplan mit 37×37-Matrix

Der (37,9,2)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 37 × 37 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 9 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 2 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 37, k = 9, λ = 2), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

Bezeichnung

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Dieser symmetrische 2-(37,9,2)-Blockplan wird Biplane der Ordnung 7 genannt.

Eigenschaften

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Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 37, k = 9, λ = 2 und damit folgende Eigenschaften:

  • Er besteht aus 37 Blöcken und 37 Punkten.
  • Jeder Block enthält genau 9 Punkte.
  • Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 2 Punkten.
  • Jeder Punkt liegt auf genau 9 Blöcken.
  • Je 2 Punkte sind durch genau 2 Blöcke verbunden.

Existenz und Charakterisierung

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Es existieren genau vier nichtisomorphe 2-(37,9,2) - Blockpläne[1][2]. Diese Lösungen sind:

Liste der Blöcke

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Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung

  • Lösung 1
  1   2   3   4   5   6   7   8   9
  1   2  10  11  12  13  14  15  16
  1   3  10  17  18  19  20  21  22
  1   4  11  17  23  24  25  26  27
  1   5  12  18  23  28  29  30  31
  1   6  13  19  24  28  32  33  34
  1   7  14  20  25  29  32  35  36
  1   8  15  21  26  30  33  35  37
  1   9  16  22  27  31  34  36  37
  2   3  14  20  23  27  28  33  37
  2   4  12  19  22  24  29  35  37
  2   5  13  21  22  25  26  28  36
  2   6  16  17  21  23  31  32  35
  2   7  11  19  20  26  30  31  34
  2   8  10  18  24  27  30  32  36
  2   9  15  17  18  25  29  33  34
  3   4  10  16  25  28  30  34  35
  3   5  15  16  19  26  27  29  32
  3   6  11  13  17  29  30  36  37
  3   7  12  15  21  23  24  34  36
  3   8  11  12  22  25  31  32  33
  3   9  13  14  18  24  26  31  35
  4   5  11  14  18  21  32  34  37
  4   6  12  16  18  20  26  33  36
  4   7  10  13  21  27  29  31  33
  4   8  14  15  17  19  28  31  36
  4   9  13  15  20  22  23  30  32
  5   6  10  15  20  24  25  31  37
  5   7  14  16  17  22  24  30  33
  5   8  12  13  17  20  27  34  35
  5   9  10  11  19  23  33  35  36
  6   7  11  15  18  22  27  28  35
  6   8  10  14  22  23  26  29  34
  6   9  12  14  19  21  25  27  30
  7   8  13  16  18  19  23  25  37
  7   9  10  12  17  26  28  32  37
  8   9  11  16  20  21  24  28  29
  • Lösung 2
  1   2   3   4   5   6   7   8  37
  1   9  10  11  12  13  14  15  37
  2   9  16  17  18  19  20  21  37
  3  10  16  22  23  24  25  26  37
  4  11  17  22  27  28  29  30  37
  5  12  18  23  27  31  32  33  37
  6  13  19  24  28  32  34  35  37
  7  14  20  25  29  31  34  36  37
  8  15  21  26  30  33  35  36  37
  1   2   9  22  23  27  34  35  36
  1   3  11  16  20  28  31  33  35
  1   4  12  17  21  24  26  31  34
  1   5  10  18  19  26  28  29  36
  1   6  15  16  21  25  27  29  32
  1   7  13  17  19  23  25  30  33
  1   8  14  18  20  22  24  30  32
  2   3  12  15  18  25  28  30  34
  2   4  10  13  16  30  31  32  36
  2   5  11  14  17  25  26  32  35
  2   6  12  13  20  22  26  29  33
  2   7  10  14  21  24  27  28  33
  2   8  11  15  19  23  24  29  31
  3   4  13  14  18  21  23  29  35
  3   5  13  15  17  20  24  27  36
  3   6   9  14  19  26  27  30  31
  3   7  11  12  19  21  22  32  36
  3   8   9  10  17  29  32  33  34
  4   5  14  15  16  19  22  33  34
  4   6   9  11  18  24  25  33  36
  4   7   9  15  20  23  26  28  32
  4   8  10  12  19  20  25  27  35
  5   6  10  11  20  21  23  30  34
  5   7   9  12  16  24  29  30  35
  5   8   9  13  21  22  25  28  31
  6   7  10  15  17  18  22  31  35
  6   8  12  14  16  17  23  28  36
  7   8  11  13  16  18  26  27  34
  • Lösung 3
  1   2   3   4   5   6   7   8  37
  1   9  10  11  12  13  14  15  37
  2   9  16  17  18  19  20  21  37
  3  10  16  22  23  24  25  26  37
  4  11  17  22  27  28  29  30  37
  5  12  18  23  27  31  32  33  37
  6  13  19  24  28  31  34  35  37
  7  14  20  25  29  32  34  36  37
  8  15  21  26  30  33  35  36  37
  1   2   9  22  23  27  34  35  36
  1   3  10  17  19  28  32  33  36
  1   4  11  18  20  24  26  32  35
  1   5  12  16  21  26  28  29  34
  1   6  13  16  20  25  27  30  33
  1   7  14  17  21  23  24  30  31
  1   8  15  18  19  22  25  29  31
  2   3  11  14  16  29  31  33  35
  2   4  12  15  17  24  25  33  34
  2   5  10  13  18  24  29  30  36
  2   6  12  14  19  22  26  30  32
  2   7  10  15  20  26  27  28  31
  2   8  11  13  21  23  25  28  32
  3   4  12  13  20  21  22  31  36
  3   5  11  15  19  20  23  30  34
  3   6   9  15  21  24  27  29  32
  3   7   9  12  18  25  28  30  35
  3   8  13  14  17  18  26  27  34
  4   5  10  14  19  21  25  27  35
  4   6  14  15  16  18  23  28  36
  4   7   9  13  19  23  26  29  33
  4   8   9  10  16  30  31  32  34
  5   6   9  11  17  25  26  31  36
  5   7  13  15  16  17  22  32  35
  5   8   9  14  20  22  24  28  33
  6   7  10  11  18  21  22  33  34
  6   8  10  12  17  20  23  29  35
  7   8  11  12  16  19  24  27  36
  • Lösung 4
  1   2  10  11  12  13  14  15  16
  1   3  10  17  18  19  20  21  22
  1   4  11  17  23  24  25  26  27
  1   5  12  18  23  28  29  30  31
  1   6  13  19  24  28  32  33  34
  1   7  14  20  25  29  32  35  36
  1   8  15  21  26  30  33  35  37
  1   9  16  22  27  31  34  36  37
  2   3  10  25  26  30  31  32  34
  2   4  11  19  21  28  31  35  36
  2   5  12  17  22  24  32  35  37
  2   6  13  18  20  23  26  36  37
  2   7  14  19  22  23  27  30  33
  2   8  15  17  20  27  28  29  34
  2   9  16  18  21  24  25  29  33
  3   4  13  14  17  29  31  33  37
  3   5  11  15  18  27  32  33  36
  3   6  12  16  19  26  27  29  35
  3   7  11  16  20  24  28  30  37
  3   8  12  14  21  23  24  34  36
  3   9  13  15  22  23  25  28  35
  4   5  10  16  20  23  33  34  35
  4   6  10  15  22  24  29  30  36
  4   7  12  15  18  19  25  34  37
  4   8  14  16  18  22  26  28  32
  4   9  12  13  20  21  27  30  32
  5   6  10  14  21  25  27  28  37
  5   7  11  13  21  22  26  29  34
  5   8  13  16  17  19  25  30  36
  5   9  14  15  19  20  24  26  31
  6   7  15  16  17  21  23  31  32
  6   8  11  12  20  22  25  31  33
  6   9  11  14  17  18  30  34  35
  7   8  10  13  18  24  27  31  35
  7   9  10  12  17  26  28  33  36
  8   9  10  11  19  23  29  32  37
  1   2   3   4   5   6   7   8   9

Inzidenzmatrix

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Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung

  • Lösung 1
O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O O . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O . O . . . . . . O . . . . . . O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . .
O . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . . O O O O O . . . . . . . . . .
O . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . . O O O O . . . . . .
O . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . . O O O . . .
O . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . O . . O O .
O . . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . O . O . O
O . . . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . O . O O
. O O . . . . . . . . . . O . . . . . O . . O . . . O O . . . . O . . . O
. O . O . . . . . . . O . . . . . . O . . O . O . . . . O . . . . . O . O
. O . . O . . . . . . . O . . . . . . . O O . . O O . O . . . . . . . O .
. O . . . O . . . . . . . . . O O . . . O . O . . . . . . . O O . . O . .
. O . . . . O . . . O . . . . . . . O O . . . . . O . . . O O . . O . . .
. O . . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O . . O . . O . O . . . O .
. O . . . . . . O . . . . . O . O O . . . . . . O . . . O . . . O O . . .
. . O O . . . . . O . . . . . O . . . . . . . . O . . O . O . . . O O . .
. . O . O . . . . . . . . . O O . . O . . . . . . O O . O . . O . . . . .
. . O . . O . . . . O . O . . . O . . . . . . . . . . . O O . . . . . O O
. . O . . . O . . . . O . . O . . . . . O . O O . . . . . . . . . O . O .
. . O . . . . O . . O O . . . . . . . . . O . . O . . . . . O O O . . . .
. . O . . . . . O . . . O O . . . O . . . . . O . O . . . . O . . . O . .
. . . O O . . . . . O . . O . . . O . . O . . . . . . . . . . O . O . . O
. . . O . O . . . . . O . . . O . O . O . . . . . O . . . . . . O . . O .
. . . O . . O . . O . . O . . . . . . . O . . . . . O . O . O . O . . . .
. . . O . . . O . . . . . O O . O . O . . . . . . . . O . . O . . . . O .
. . . O . . . . O . . . O . O . . . . O . O O . . . . . . O . O . . . . .
. . . . O O . . . O . . . . O . . . . O . . . O O . . . . . O . . . . . O
. . . . O . O . . . . . . O . O O . . . . O . O . . . . . O . . O . . . .
. . . . O . . O . . . O O . . . O . . O . . . . . . O . . . . . . O O . .
. . . . O . . . O O O . . . . . . . O . . . O . . . . . . . . . O . O O .
. . . . . O O . . . O . . . O . . O . . . O . . . . O O . . . . . . O . .
. . . . . O . O . O . . . O . . . . . . . O O . . O . . O . . . . O . . .
. . . . . O . . O . . O . O . . . . O . O . . . O . O . . O . . . . . . .
. . . . . . O O . . . . O . . O . O O . . . O . O . . . . . . . . . . . O
. . . . . . O . O O . O . . . . O . . . . . . . . O . O . . . O . . . . O
. . . . . . . O O . O . . . . O . . . O O . . O . . . O O . . . . . . . .
  • Lösung 2
O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O
O . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O
. O . . . . . . O . . . . . . O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . O
. . O . . . . . . O . . . . . O . . . . . O O O O O . . . . . . . . . . O
. . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . . O O O O . . . . . . O
. . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . . O O O . . . O
. . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . . O . O O . O
. . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . O . . O . O O
. . . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . O . O O O
O O . . . . . . O . . . . . . . . . . . . O O . . . O . . . . . . O O O .
O . O . . . . . . . O . . . . O . . . O . . . . . . . O . . O . O . O . .
O . . O . . . . . . . O . . . . O . . . O . . O . O . . . . O . . O . . .
O . . . O . . . . O . . . . . . . O O . . . . . . O . O O . . . . . . O .
O . . . . O . . . . . . . . O O . . . . O . . . O . O . O . . O . . . . .
O . . . . . O . . . . . O . . . O . O . . . O . O . . . . O . . O . . . .
O . . . . . . O . . . . . O . . . O . O . O . O . . . . . O . O . . . . .
. O O . . . . . . . . O . . O . . O . . . . . . O . . O . O . . . O . . .
. O . O . . . . . O . . O . . O . . . . . . . . . . . . . O O O . . . O .
. O . . O . . . . . O . . O . . O . . . . . . . O O . . . . . O . . O . .
. O . . . O . . . . . O O . . . . . . O . O . . . O . . O . . . O . . . .
. O . . . . O . . O . . . O . . . . . . O . . O . . O O . . . . O . . . .
. O . . . . . O . . O . . . O . . . O . . . O O . . . . O . O . . . . . .
. . O O . . . . . . . . O O . . . O . . O . O . . . . . O . . . . . O . .
. . O . O . . . . . . . O . O . O . . O . . . O . . O . . . . . . . . O .
. . O . . O . . O . . . . O . . . . O . . . . . . O O . . O O . . . . . .
. . O . . . O . . . O O . . . . . . O . O O . . . . . . . . . O . . . O .
. . O . . . . O O O . . . . . . O . . . . . . . . . . . O . . O O O . . .
. . . O O . . . . . . . . O O O . . O . . O . . . . . . . . . . O O . . .
. . . O . O . . O . O . . . . . . O . . . . . O O . . . . . . . O . . O .
. . . O . . O . O . . . . . O . . . . O . . O . . O . O . . . O . . . . .
. . . O . . . O . O . O . . . . . . O O . . . . O . O . . . . . . . O . .
. . . . O O . . . O O . . . . . . . . O O . O . . . . . . O . . . O . . .
. . . . O . O . O . . O . . . O . . . . . . . O . . . . O O . . . . O . .
. . . . O . . O O . . . O . . . . . . . O O . . O . . O . . O . . . . . .
. . . . . O O . . O . . . . O . O O . . . O . . . . . . . . O . . . O . .
. . . . . O . O . . . O . O . O O . . . . . O . . . . O . . . . . . . O .
. . . . . . O O . . O . O . . O . O . . . . . . . O O . . . . . . O . . .
  • Lösung 3
O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O
O . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O
. O . . . . . . O . . . . . . O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . O
. . O . . . . . . O . . . . . O . . . . . O O O O O . . . . . . . . . . O
. . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . . O O O O . . . . . . O
. . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . . O O O . . . O
. . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . O . . O O . O
. . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . O . O . O O
. . . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . O . O O O
O O . . . . . . O . . . . . . . . . . . . O O . . . O . . . . . . O O O .
O . O . . . . . . O . . . . . . O . O . . . . . . . . O . . . O O . . O .
O . . O . . . . . . O . . . . . . O . O . . . O . O . . . . . O . . O . .
O . . . O . . . . . . O . . . O . . . . O . . . . O . O O . . . . O . . .
O . . . . O . . . . . . O . . O . . . O . . . . O . O . . O . . O . . . .
O . . . . . O . . . . . . O . . O . . . O . O O . . . . . O O . . . . . .
O . . . . . . O . . . . . . O . . O O . . O . . O . . . O . O . . . . . .
. O O . . . . . . . O . . O . O . . . . . . . . . . . . O . O . O . O . .
. O . O . . . . . . . O . . O . O . . . . . . O O . . . . . . . O O . . .
. O . . O . . . . O . . O . . . . O . . . . . O . . . . O O . . . . . O .
. O . . . O . . . . . O . O . . . . O . . O . . . O . . . O . O . . . . .
. O . . . . O . . O . . . . O . . . . O . . . . . O O O . . O . . . . . .
. O . . . . . O . . O . O . . . . . . . O . O . O . . O . . . O . . . . .
. . O O . . . . . . . O O . . . . . . O O O . . . . . . . . O . . . . O .
. . O . O . . . . . O . . . O . . . O O . . O . . . . . . O . . . O . . .
. . O . . O . . O . . . . . O . . . . . O . . O . . O . O . . O . . . . .
. . O . . . O . O . . O . . . . . O . . . . . . O . . O . O . . . . O . .
. . O . . . . O . . . . O O . . O O . . . . . . . O O . . . . . . O . . .
. . . O O . . . . O . . . O . . . . O . O . . . O . O . . . . . . . O . .
. . . O . O . . . . . . . O O O . O . . . . O . . . . O . . . . . . . O .
. . . O . . O . O . . . O . . . . . O . . . O . . O . . O . . . O . . . .
. . . O . . . O O O . . . . . O . . . . . . . . . . . . . O O O . O . . .
. . . . O O . . O . O . . . . . O . . . . . . . O O . . . . O . . . . O .
. . . . O . O . . . . . O . O O O . . . . O . . . . . . . . . O . . O . .
. . . . O . . O O . . . . O . . . . . O . O . O . . . O . . . . O . . . .
. . . . . O O . . O O . . . . . . O . . O O . . . . . . . . . . O O . . .
. . . . . O . O . O . O . . . . O . . O . . O . . . . . O . . . . . O . .
. . . . . . O O . . O O . . . O . . O . . . . O . . O . . . . . . . . O .
  • Lösung 4
O O . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O . O . . . . . . O . . . . . . O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . .
O . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . . O O O O O . . . . . . . . . .
O . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . . O O O O . . . . . .
O . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . . O O O . . .
O . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . O . . O O .
O . . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . O . O . O
O . . . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . O . O O
. O O . . . . . . O . . . . . . . . . . . . . . O O . . . O O O . O . . .
. O . O . . . . . . O . . . . . . . O . O . . . . . . O . . O . . . O O .
. O . . O . . . . . . O . . . . O . . . . O . O . . . . . . . O . . O . O
. O . . . O . . . . . . O . . . . O . O . . O . . O . . . . . . . . . O O
. O . . . . O . . . . . . O . . . . O . . O O . . . O . . O . . O . . . .
. O . . . . . O . . . . . . O . O . . O . . . . . . O O O . . . . O . . .
. O . . . . . . O . . . . . . O . O . . O . . O O . . . O . . . O . . . .
. . O O . . . . . . . . O O . . O . . . . . . . . . . . O . O . O . . . O
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. . . O . O . . . O . . . . O . . . . . . O . O . . . . O O . . . . . O .
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. . . O . . . O . . . . . O . O . O . . . O . . . O . O . . . O . . . . .
. . . O . . . . O . . O O . . . . . . O O . . . . . O . . O . O . . . . .
. . . . O O . . . O . . . O . . . . . . O . . . O . O O . . . . . . . . O
. . . . O . O . . . O . O . . . . . . . O O . . . O . . O . . . . O . . .
. . . . O . . O . . . . O . . O O . O . . . . . O . . . . O . . . . . O .
. . . . O . . . O . . . . O O . . . O O . . . O . O . . . . O . . . . . .
. . . . . O O . . . . . . . O O O . . . O . O . . . . . . . O O . . . . .
. . . . . O . O . . O O . . . . . . . O . O . . O . . . . . O . O . . . .
. . . . . O . . O . O . . O . . O O . . . . . . . . . . . O . . . O O . .
. . . . . . O O . O . . O . . . . O . . . . . O . . O . . . O . . . O . .
. . . . . . O . O O . O . . . . O . . . . . . . . O . O . . . . O . . O .
. . . . . . . O O O O . . . . . . . O . . . O . . . . . O . . O . . . . O
O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zyklische Darstellung

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Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) für Lösung 1 dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.

  • Lösung 1
  1   2   4   8  18  25  26  30  36

Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für jede Lösung dieses Blockplans:

  • Lösung 1
  1   2  17  28
  • Lösung 2
  1   3  13  26  32
  • Lösung 3
  1  16  31  36  37
  • Lösung 4
  1  10  27  29  33

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Chester J. Salwach, Joseph A. Mezzaroba: The four biplanes with κ = 9. In: Journal of Combinatorial Theory, Series A. Bd. 24, Nr. 2, 1978, S. 141–145, doi:10.1016/0097-3165(78)90002-X.
  2. Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.