(71,21,6)-Blockplan
symmetrischer Blockplan mit 71×71-Matrix
Der (71,21,6)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 71 × 71 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 21 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 6 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 71, k = 21, λ = 6), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Eigenschaften
BearbeitenDieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 71, k = 21, λ = 6 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 71 Blöcken und 71 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 21 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 6 Punkten.
- Jeder Punkt liegt auf genau 21 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 6 Blöcke verbunden.
Existenz und Charakterisierung
BearbeitenEs existieren mindestens zwei nichtisomorphe 2-(71,21,6) - Blockpläne[1][2]. Diese Lösungen sind:
Liste der Blöcke
BearbeitenHier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
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- Lösung 2
1 2 16 17 18 20 24 25 27 32 34 38 41 45 46 54 57 63 64 68 70 1 3 17 18 19 21 25 26 28 33 35 39 42 46 47 51 55 58 64 69 71 1 4 18 19 20 22 26 27 29 34 36 40 43 47 48 52 56 58 59 65 70 1 5 16 19 20 21 23 27 28 30 35 37 41 48 49 53 57 59 60 66 71 1 6 17 20 21 22 24 28 29 31 36 38 42 49 50 51 54 60 61 65 67 1 7 16 18 21 22 23 25 29 30 32 39 43 44 50 52 55 61 62 66 68 1 8 16 17 19 22 23 24 26 31 33 37 40 44 45 53 56 62 63 67 69 1 2 12 14 15 16 33 36 42 43 47 49 51 53 57 58 62 63 65 66 68 1 3 9 13 15 17 30 34 37 43 48 50 51 52 54 59 63 64 66 67 69 1 4 9 10 14 18 31 35 37 38 44 49 52 53 55 58 60 64 67 68 70 1 5 10 11 15 19 32 36 38 39 45 50 53 54 56 58 59 61 68 69 71 1 6 9 11 12 20 30 33 39 40 44 46 54 55 57 59 60 62 65 69 70 1 7 10 12 13 21 31 34 40 41 45 47 51 55 56 60 61 63 66 70 71 1 8 11 13 14 22 32 35 41 42 46 48 52 56 57 61 62 64 65 67 71 1 2 5 7 8 12 14 15 16 26 28 29 34 35 38 40 46 50 55 59 67 1 2 3 6 8 9 13 15 17 23 27 29 35 36 39 41 44 47 56 60 68 1 2 3 4 7 9 10 14 18 23 24 28 30 36 40 42 45 48 57 61 69 1 3 4 5 8 10 11 15 19 24 25 29 30 31 41 43 46 49 51 62 70 1 2 4 5 6 9 11 12 20 23 25 26 31 32 37 42 47 50 52 63 71 1 3 5 6 7 10 12 13 21 24 26 27 32 33 38 43 44 48 53 64 65 1 4 6 7 8 11 13 14 22 25 27 28 33 34 37 39 45 49 54 58 66 2 11 12 13 18 22 24 27 29 30 31 34 35 44 50 51 53 57 58 69 71 3 12 13 14 16 19 23 25 28 31 32 35 36 44 45 51 52 54 59 65 70 4 13 14 15 17 20 24 26 29 30 32 33 36 45 46 52 53 55 60 66 71 5 9 14 15 18 21 23 25 27 30 31 33 34 46 47 53 54 56 61 65 67 6 9 10 15 19 22 24 26 28 31 32 34 35 47 48 54 55 57 62 66 68 7 9 10 11 16 20 25 27 29 32 33 35 36 48 49 51 55 56 63 67 69 8 10 11 12 17 21 23 26 28 30 33 34 36 49 50 52 56 57 64 68 70 2 10 13 15 20 21 24 25 28 30 35 37 38 39 40 52 56 58 62 63 65 3 9 11 14 21 22 25 26 29 31 36 38 39 40 41 53 57 59 63 64 66 4 10 12 15 16 22 23 26 27 30 32 39 40 41 42 51 54 58 60 64 67 5 9 11 13 16 17 24 27 28 31 33 40 41 42 43 52 55 58 59 61 68 6 10 12 14 17 18 25 28 29 32 34 37 41 42 43 53 56 59 60 62 69 7 11 13 15 18 19 23 26 29 33 35 37 38 42 43 54 57 60 61 63 70 8 9 12 14 19 20 23 24 27 34 36 37 38 39 43 51 55 61 62 64 71 2 10 11 14 17 19 25 26 27 37 40 44 46 48 50 51 60 61 65 66 68 3 11 12 15 18 20 26 27 28 38 41 44 45 47 49 52 61 62 66 67 69 4 9 12 13 19 21 27 28 29 39 42 45 46 48 50 53 62 63 67 68 70 5 10 13 14 20 22 23 28 29 40 43 44 46 47 49 54 63 64 68 69 71 6 11 14 15 16 21 23 24 29 37 41 45 47 48 50 55 58 64 65 69 70 7 9 12 15 17 22 23 24 25 38 42 44 46 48 49 56 58 59 66 70 71 8 9 10 13 16 18 24 25 26 39 43 45 47 49 50 57 59 60 65 67 71 2 6 7 10 13 18 19 20 23 31 33 36 41 46 50 58 59 62 64 66 67 3 7 8 11 14 19 20 21 24 30 32 34 42 44 47 58 59 60 63 67 68 2 4 8 12 15 20 21 22 25 31 33 35 43 45 48 59 60 61 64 68 69 2 3 5 9 13 16 21 22 26 32 34 36 37 46 49 58 60 61 62 69 70 3 4 6 10 14 16 17 22 27 30 33 35 38 47 50 59 61 62 63 70 71 4 5 7 11 15 16 17 18 28 31 34 36 39 44 48 60 62 63 64 65 71 5 6 8 9 12 17 18 19 29 30 32 35 40 45 49 58 61 63 64 65 66 2 3 5 10 11 17 20 22 23 34 35 39 42 43 45 53 55 65 66 67 70 3 4 6 11 12 16 18 21 24 35 36 37 40 43 46 54 56 66 67 68 71 4 5 7 12 13 17 19 22 25 30 36 37 38 41 47 55 57 65 67 68 69 5 6 8 13 14 16 18 20 26 30 31 38 39 42 48 51 56 66 68 69 70 2 6 7 14 15 17 19 21 27 31 32 39 40 43 49 52 57 67 69 70 71 3 7 8 9 15 18 20 22 28 32 33 37 40 41 50 51 53 65 68 70 71 2 4 8 9 10 16 19 21 29 33 34 38 41 42 44 52 54 65 66 69 71 2 4 8 11 13 17 18 21 23 32 38 40 47 48 49 51 53 54 55 59 62 2 3 5 12 14 18 19 22 24 33 39 41 48 49 50 52 54 55 56 60 63 3 4 6 13 15 16 19 20 25 34 40 42 44 49 50 53 55 56 57 61 64 4 5 7 9 14 17 20 21 26 35 41 43 44 45 50 51 54 56 57 58 62 5 6 8 10 15 18 21 22 27 36 37 42 44 45 46 51 52 55 57 59 63 2 6 7 9 11 16 19 22 28 30 38 43 45 46 47 51 52 53 56 60 64 3 7 8 10 12 16 17 20 29 31 37 39 46 47 48 52 53 54 57 58 61 5 7 8 24 25 27 35 36 40 42 47 50 52 53 54 60 62 64 66 69 70 2 6 8 25 26 28 30 36 41 43 44 48 53 54 55 58 61 63 67 70 71 2 3 7 26 27 29 30 31 37 42 45 49 54 55 56 59 62 64 65 68 71 3 4 8 23 27 28 31 32 38 43 46 50 55 56 57 58 60 63 65 66 69 2 4 5 24 28 29 32 33 37 39 44 47 51 56 57 59 61 64 66 67 70 3 5 6 23 25 29 33 34 38 40 45 48 51 52 57 58 60 62 67 68 71 4 6 7 23 24 26 34 35 39 41 46 49 51 52 53 59 61 63 65 68 69 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Oval
BearbeitenEin Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für jede Lösung dieses Blockplans:
- Lösung 1
1 2 26
- Lösung 2
1 2 19
Literatur
Bearbeiten- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
Bearbeiten- ↑ Zvonimir Janko, Tran van Trung: Construction of two Symmetric Block Designs for (71,21,6). In: Discrete Mathematics. Bd. 55, Nr. 3, 1985, S. 327–328, doi:10.1016/S0012-365X(85)80011-X.
- ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.