*-Algebra

Eine *-Algebra ist ein mathematischer Begriff aus der abstrakten Algebra. Eine *-Algebra bezeichnet eine algebraische Struktur, die einen involutiven Antiautomorphismus besitzt.

Definition

Eine *-Algebra ${\mathcal {A}}$ über $\mathbb {C}$ ist ein komplexer Vektorraum mit einem $\mathbb {C}$-bilinearen, assoziativen Produkt $(a,b)\mapsto ab$ und einer Abbildung $*:a\mapsto a^{*}$, welche ein $\mathbb {C}$-antilinearer, involutiver Antiautomorphismus ist. Es gilt also

• $(sa+tb)^{*}={\bar {s}}a^{*}+{\bar {t}}b^{*}$
• $(a^{*})^{*}=a$
• $(ab)^{*}=b^{*}a^{*}$

für $a,b\in {\mathcal {A}}$ und $s,t\in \mathbb {C}$.

Erläuterungen

Sei $f(x):=x^{*}$, dann gilt in dieser Notation

• $f(sa+tb)={\bar {s}}f(a)+{\bar {t}}f(b)$
• $f(f(a)))=a$
• $f(ab)=f(b)f(a)$

für $a,b\in {\mathcal {A}}$ und $s,t\in \mathbb {C}$.

Beispiele

• Die komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ bilden mit der durch komplexe Konjugation gegebenen Abbildung $z^{*}:={\overline {z}}$ eine *-Algebra.
• Die Algebra $\operatorname {Mat} (n,\mathbb {C} )$ der komplexen $n\times n$-Matrizen mit der durch Bildung der transponiert-konjugierten Matrix gegebenen Abbildung $A^{*}:={\overline {A}}^{T}$ ist eine *-Algebra.
• Die beschränkten Operatoren eines gegebenen Hilbert-Raumes ${\mathcal {H}}$ bilden mit der durch Adjunktion von Operatoren gegebenen Abbildung eine *-Algebra ${\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$. Nach Definition der Adjunktion gilt die Gleichung $\langle Tx,y\rangle =\langle x,T^{*}y\rangle$ für alle $T\in {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}),x,y\in {\mathcal {H}}$.
• Die kompakten Operatoren eines gegebenen Hilbert-Raumes ${\mathcal {H}}$ bilden eine *-Unteralgebra ${\mathcal {K}}({\mathcal {H}})\subset {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$.
• Von-Neumann-Algebren sind *-Unteralgebren von ${\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$ für einen Hilbert-Raum ${\mathcal {H}}$.
• Die Automorphismen einer abelschen Varietät bilden mit der Rosati-Involution eine *-Algebra.
• Ist $G$ eine lokalkompakte Gruppe, so trägt die L¹-Gruppenalgebra $L^{1}(G)$ eine Involution, die $L^{1}(G)$ zu einer *-Algebra macht. Für $f\in L^{1}(G)$ ist $f^{*}\in L^{1}(G)$ definiert durch $f^{*}(t)\,=\,\Delta (t)^{-1}{\overline {f(t^{-1})}}$, wobei $\Delta$ die modulare Funktion von $G$ ist.

Siehe auch

• C*-Algebra