Es ist folgendermaßen als Summe über Produkte von vier 3j-Symbolen definiert:
{
j
1
j
2
j
3
j
4
j
5
j
6
}
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}}
=
∑
m
1
,
…
,
m
6
(
−
1
)
∑
k
=
1
6
(
j
k
−
m
k
)
(
j
1
j
2
j
3
−
m
1
−
m
2
−
m
3
)
(
j
1
j
5
j
6
m
1
−
m
5
m
6
)
(
j
4
j
2
j
6
m
4
m
2
−
m
6
)
(
j
4
j
5
j
3
−
m
4
m
5
m
3
)
.
{\displaystyle =\sum _{m_{1},\dots ,m_{6}}(-1)^{\sum _{k=1}^{6}(j_{k}-m_{k})}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\m_{1}&-m_{5}&m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\m_{4}&m_{2}&-m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\-m_{4}&m_{5}&m_{3}\end{pmatrix}}.}
Dabei ist zu beachten, dass nicht alle
m
i
{\displaystyle m_{i}}
nichtverschwindende Beiträge leisten (Auswahlregeln der 3j-Symbole, siehe dort).
Das 6j-Symbol ist invariant unter Vertauschung seiner Spalten:
{
j
1
j
2
j
3
j
4
j
5
j
6
}
=
{
j
2
j
1
j
3
j
5
j
4
j
6
}
=
{
j
1
j
3
j
2
j
4
j
6
j
5
}
=
{
j
3
j
2
j
1
j
6
j
5
j
4
}
=
⋯
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}=\cdots }
Es ist auch invariant unter gleichzeitiger Vertauschung von übereinanderstehenden Symbolen in zwei Spalten:
{
j
1
j
2
j
3
j
4
j
5
j
6
}
=
{
j
4
j
5
j
3
j
1
j
2
j
6
}
=
{
j
1
j
5
j
6
j
4
j
2
j
3
}
=
{
j
4
j
2
j
6
j
1
j
5
j
3
}
.
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}
Insgesamt gibt es 24 Symmetrien.
Das 6j-Symbol
{
j
1
j
2
j
3
j
4
j
5
j
6
}
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}}
verschwindet außer
j
1
,
j
2
,
j
3
{\displaystyle j_{1},j_{2},j_{3}}
erfüllen die Dreiecksbedingung:
j
1
=
|
j
2
−
j
3
|
,
…
,
j
2
+
j
3
{\displaystyle j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}}
Wegen der oben erläuterten Symmetrien müssen auch
j
1
,
j
5
,
j
6
{\displaystyle j_{1},j_{5},j_{6}}
,
j
4
,
j
2
,
j
6
{\displaystyle j_{4},j_{2},j_{6}}
,
j
4
,
j
5
,
j
3
{\displaystyle j_{4},j_{5},j_{3}}
die Dreiecksbedingung erfüllen. Außerdem muss die Summe aller Elemente dieser Dreiertupel eine ganze Zahl sein.
Orthogonalitätsrelation
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Die 6j-Symbole erfüllen die Orthogonalitätsrelation:
∑
j
3
(
2
j
3
+
1
)
{
j
1
j
2
j
3
j
4
j
5
j
6
}
{
j
1
j
2
j
3
j
4
j
5
j
6
′
}
=
δ
j
6
j
6
′
2
j
6
+
1
{
j
1
j
5
j
6
}
{
j
4
j
2
j
6
}
.
{\displaystyle \sum _{j_{3}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{6}^{}j_{6}'}}{2j_{6}+1}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}.}
Asymptotische Entwicklung
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Zusammenhang mit Racah-W-Koeffizienten
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Sie sind mit den Racah-W-Koeffizienten verbunden, die ebenfalls zur Kopplung von drei Drehimpulsen verwendet werden:
{
j
1
j
2
j
3
j
4
j
5
j
6
}
=
(
−
1
)
j
1
+
j
2
+
j
4
+
j
5
W
(
j
1
j
2
j
5
j
4
;
j
3
j
6
)
.
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6}).}
Die Racah-W-Koeffizienten sind Koeffizienten:
W
(
j
1
j
2
J
j
3
;
J
12
J
23
)
≡
⟨
(
j
1
,
(
j
2
j
3
)
J
23
)
J
|
(
(
j
1
j
2
)
J
12
,
j
3
)
J
⟩
(
2
J
12
+
1
)
(
2
J
23
+
1
)
.
{\displaystyle W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23})\equiv {\frac {\langle (j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})J|((j_{1}j_{2})J_{12},j_{3})J\rangle }{\sqrt {(2J_{12}+1)(2J_{23}+1)}}}.}
beim Übergang von einer Basis, in der
j
1
{\displaystyle j_{1}}
und
j
2
{\displaystyle j_{2}}
zu
J
12
{\displaystyle J_{12}}
gekoppelt sind und dieses dann mit
j
3
{\displaystyle j_{3}}
zum Gesamtdrehimpuls
J
{\displaystyle J}
und einer Basis, in der zuerst
j
2
{\displaystyle j_{2}}
und
j
3
{\displaystyle j_{3}}
zu
J
23
{\displaystyle J_{23}}
gekoppelt sind und dieses dann mit
j
3
{\displaystyle j_{3}}
zu
J
{\displaystyle J}
:
|
(
(
j
1
j
2
)
J
12
j
3
)
J
M
⟩
=
∑
J
23
⟨
(
j
1
,
(
j
2
j
3
)
J
23
)
J
|
(
(
j
1
j
2
)
J
12
j
3
)
J
⟩
|
(
j
1
,
(
j
2
j
3
)
J
23
)
J
M
⟩
{\displaystyle |((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})JM\rangle =\sum _{J_{23}}\langle (j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})J|((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})J\rangle \,|(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle }
=
(
2
J
12
+
1
)
∑
J
23
(
2
J
23
+
1
)
W
(
j
1
j
2
J
j
3
;
J
12
J
23
)
|
(
j
1
,
(
j
2
j
3
)
J
23
)
J
M
⟩
{\displaystyle ={\sqrt {(2J_{12}+1)}}\sum _{J_{23}}{\sqrt {(2J_{23}+1)}}\,W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23})|(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle }
Alan Robert Edmonds : Drehimpulse in der Quantenmechanik, BI Hochschultaschenbücher 1964 (englisches Original Princeton UP 1957)
A. Messiah : Quantenmechanik , Band 2, De Gruyter 1985, Anhang C
↑ Ponzano, Regge: Semiclassical Limit of Racah Coefficients, in: Spectroscopy and Group Theoretical Methods in Physics, Amsterdam, 1968, S. 1–58
↑ J. Roberts: Classical 6j-symbols and the tetrahedron, Geometry and Topology, Band 3, 1998, S. 21–66, Arxiv