Abbildungstorus

In der Mathematik sind Abbildungstori topologische Räume, mit denen topologische Abbildungen beschrieben werden.

Definition

Das Möbiusband ist der Abbildungstorus der durch $f(x)=-x$ definierten Abbildung $f\colon \left[-1,1\right]\rightarrow \left[-1,1\right]$.

Die Kleinsche Flasche ist ein nichttriviales Bündel über S¹ mit Faser S¹ und Monodromie $f(z)={\frac {1}{z}}$.

Sei $X$ ein topologischer Raum und $f\colon X\rightarrow X$ ein Homöomorphismus. Der Abbildungstorus von $f$ ist definiert als Quotient

$T_{f}:=X\times \left[0,1\right]/\sim$

von $X\times \left[0,1\right]$ bzgl. der Äquivalenzrelation $(x,1)\sim (f(x),0)$ für alle $x\in X$.

Faserbündel über dem Kreis

Der Kreis $S^{1}$ kann als Quotientenraum $S^{1}=\left[0,1\right]/\sim$ mit $0\sim 1$ aufgefasst werden, damit definiert die Projektion auf den zweiten Faktor $p\colon X\times \left[0,1\right]\rightarrow \left[0,1\right]$ ein Faserbündel

$p\colon T_{f}\rightarrow S^{1}$.

Umgekehrt ist jedes Faserbündel über dem Kreis als Abbildungstorus eines Homöomorphismus $f\colon X\rightarrow X$ darstellbar. Die Abbildung $f$ wird als Monodromie des Faserbündels bezeichnet.

Abbildungstori in der 3-dimensionalen Topologie

Abbildungstori spielen eine wichtige Rolle in Thurstons Zugang zur Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten.

Homöomorphismen kompakter Flächen fallen in eine von drei Kategorien: periodisch, reduzibel oder pseudo-Anosov. Thurston hat bewiesen, dass ein 3-dimensionaler Abbildungstorus genau dann hyperbolisch ist, wenn die Monodromie pseudo-Anosov ist.

Ian Agol hat 2012 gezeigt, dass jede kompakte 3-Mannigfaltigkeit eine endliche Überlagerung besitzt, die sich als Abbildungstorus darstellen lässt.

Gruppentheorie

In der Gruppentheorie definiert man Abbildungstori für Endomorphismen freier Gruppen. Sei $F(X)=\langle X\mid -\rangle$ die von einer Menge $X$ erzeugte freie Gruppe und $\phi \colon F(X)\rightarrow F(X)$ ein Endomorphismus. Dann ist der Abbildungstorus definiert durch die Präsentierung

$T_{\phi }:=\langle t,X\mid t^{-1}xt=\phi (x)\ \forall x\in X\rangle$.