Derivierte Kategorie

Die derivierte Kategorie $D({\mathcal {A}})$ einer abelschen Kategorie ${\mathcal {A}}$ ist ein wichtiges Objekt in der modernen homologischen Algebra. Sie wurde durch Grothendiecks Student Verdier eingeführt.

Quasiisomorphismus

Zuerst bildet man die abelsche Kategorie $\mathop {Ch} ({\mathcal {A}})$ aller Kettenkomplexe in ${\mathcal {A}}$. Ein Kettenhomomorphismus $f_{*}\colon C_{*}\rightarrow D_{*}$ in $\mathop {Ch} ({\mathcal {A}})$ heißt ein Quasiisomorphismus, falls er unter Homologie zu einem Isomorphismus wird, das heißt falls $H_{n}(f)\colon H_{n}(C)\rightarrow H_{n}(D)$ ein Isomorphismus ist für jede ganze Zahl $n$.

Homotopie-Kategorie

Analog zur herkömmlichen Homotopie-Kategorie bildet man die Homotopie-Kategorie $K({\mathcal {A}})$, indem man kettenhomotope Morphismen in $\mathop {Ch} ({\mathcal {A}})$ miteinander identifiziert. $K({\mathcal {A}})$ ist eine triangulierte Kategorie.

Derivierte Kategorie

Analog zur Lokalisierung bildet man die derivierte Kategorie $D({\mathcal {A}})$ aus $K({\mathcal {A}})$, indem man sämtliche Quasiisomorphismen für invertierbar erklärt.

Mengentheoretisches Problem

Seien $A,B$ zwei Objekte aus ${\mathcal {A}}$. In $D({\mathcal {A}})$ ist die Gesamtheit aller Morphismen von $A$ nach $B$ nicht immer eine Menge. Die wichtigsten Arbeiten halten dieses Problem für unwesentlich.

Literatur

• Sergei I. Gelfand, Yuri I. Manin: Methods of Homological Algebra. 2. Auflage. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-642-07813-3. 
• Wolfgang Soergel: Derivierte Kategorien und Funktoren. (PDF) Mathematisches Institut, Universität Freiburg, 7. April 2017, abgerufen am 8. April 2017 (Vorlesungsskript). 
• Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Nr. 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5, Kapitel 10.