Die derivierte Kategorie einer abelschen Kategorie ist ein wichtiges Objekt in der modernen homologischen Algebra. Sie wurde durch Grothendiecks Student Verdier eingeführt.[1]

Quasiisomorphismus

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Zuerst bildet man die abelsche Kategorie   aller Kettenkomplexe in  . Ein Kettenhomomorphismus   in   heißt ein Quasiisomorphismus, falls er unter Homologie zu einem Isomorphismus wird, das heißt falls   ein Isomorphismus ist für jede ganze Zahl  .

Homotopie-Kategorie

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Analog zur herkömmlichen Homotopie-Kategorie bildet man die Homotopie-Kategorie  , indem man kettenhomotope Morphismen in   miteinander identifiziert.   ist eine triangulierte Kategorie.

Derivierte Kategorie

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Analog zur Lokalisierung bildet man die derivierte Kategorie   aus  , indem man sämtliche Quasiisomorphismen für invertierbar erklärt.

Mengentheoretisches Problem

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Seien   zwei Objekte aus  . In   ist die Gesamtheit aller Morphismen von   nach   nicht immer eine Menge.[2] Die wichtigsten Arbeiten halten dieses Problem für unwesentlich.[3]

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. R. P. Thomas: Derived Categories for the Working Mathematician. In: Cumrun Vafa, S.-T. Yau (Hrsg.): Winter School on Mirror Symmetry, Vector Bundles and Lagrangian Submanifolds (Cambridge, MA, 1999) (= AMS/IP Studies in Advanced Mathematics. Nr. 23). American Mathematical Society, Providence (Rhode Island) 2001, ISBN 0-8218-2159-8, S. 349–361, arxiv:math/0001045: „… the creators of derived categories (principally Verdier, or as he is traditionally known in this context, Grothendieck’s student Verdier)“
  2. Für ein Beispiel von Freyd, siehe Carles Casacuberta, Amnon Neeman: Brown representability does not come for free. In: Mathematical Research Letters. Band 16, Nr. 1. International Press, 2009, ISSN 1073-2780, S. 1–5, arxiv:0807.1872.
  3. Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Nr. 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5, Set-Theoretic Remark 10.3.3: „The standard references […] all ignore these set-theoretic problems.“