Kettenhomotopie

Im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra ist eine Kettenhomotopie eine Abstraktion des topologischen Begriffes einer Homotopie.

Definition

Es seien $X$ und $Y$ Kokettenkomplexe und $f,g\colon X\to Y$ zwei Kettenabbildungen, d. h. Systeme von Morphismen $f^{k}\colon X^{k}\to Y^{k}$, die mit den Differentialen in dem Sinne verträglich sind, dass $f^{k+1}\circ d_{X}^{k}=d_{Y}^{k}\circ f^{k}$ gilt.

Dann ist eine Kettenhomotopie $D\colon f\simeq g$ eine Folge von Morphismen $D^{k}\colon X^{k}\to Y^{k-1}$, so dass $f-g=Dd+dD$, oder ausführlicher

$f^{k}-g^{k}=D^{k+1}\circ d_{X}^{k}+d_{Y}^{k-1}\circ D^{k}$ für alle $k$,

gilt.

$f$ und $g$ heißen homotop, wenn es eine Kettenhomotopie $D\colon f\simeq g$ gibt. Homotopie ist eine mit der Komposition verträgliche Äquivalenzrelation auf der Menge aller Kettenabbildungen.

Homotopien von Abbildungen zwischen Kettenkomplexen (und nicht Kokettenkomplexen) sind analog definiert. Zwei Kettenabbildungen $f=(f_{k})_{k}$ und $g=(g_{k})_{k}$ zwischen Kettenkomplexen $X=((X_{k})_{k},(d_{k}^{X})_{k})$ und $Y=((Y_{k})_{k},(d_{k}^{Y})_{k})$ heißen homotop, wenn es eine Folge $(D_{k})_{k}$ von Morphismen $D_{k}\colon X_{k}\rightarrow Y_{k+1}$ gibt, so dass

$f_{k}-g_{k}=d_{k+1}^{Y}\circ D_{k}+D_{k-1}\circ d_{k}^{X}$ für alle $k$.

Zwei Kettenkomplexe $X=((X_{k})_{k},(d_{k}^{X})_{k})$ und $Y=((Y_{k})_{k},(d_{k}^{Y})_{k})$ heißen kettenhomotopieäquivalent, wenn es Kettenabbildungen $f\colon X\rightarrow Y$ und $g\colon Y\rightarrow X$ gibt, für die die Hintereinanderausführungen $fg$ und $gf$ jeweils homotop zur Identität sind.

Bedeutung

• Eine Abbildung, die homotop zur Nullabbildung ist, heißt nullhomotop. Die Kategorie der Kokettenkomplexe modulo nullhomotoper Abbildungen ist die Homotopiekategorie.

• Homotope Kettenabbildungen induzieren dieselbe Abbildung in der Homologie bzw. Kohomologie.

• Ist insbesondere $C$ ein Kokettenkomplex und $D\colon \mathrm {id} _{C}\simeq 0$ eine Homotopie zwischen der Identität auf $C$ und der Nullabbildung auf $C$, so ist die Kohomologie von $C$ trivial, d. h. $C$ ist exakt. Man spricht dann auch von einer kontrahierenden Homotopie.

• Sind zwei stetige Abbildungen $f$ und $g$ zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$ homotop, so sind die zugeordneten Abbildungen $Sf$ und $Sg$ zwischen den zugehörigen singulären Kettenkomplexen homotop im oben definierten Sinne. Insbesondere sind die induzierten Abbildungen zwischen den singulären Homologiegruppen gleich.

• Zwei projektive Auflösungen eines Moduls über einem Ring sind homotop. Insbesondere sind die Homologien der Auflösungen gleich, was zum Begriff des abgeleiteten Funktors führt.