Eine absorbierende Menge bezeichnet in der Mathematik eine Teilmenge eines Vektorraumes, die anschaulich so mit Skalaren vergrößert werden kann, dass irgendwann jeder Punkt in ihr enthalten ist und dieser bei weiterer Vergrößerung die Menge auch nicht mehr verlässt.

Absorbierende Mengen treten beispielsweise im Kontext von lokalkonvexen Räumen und Minkowski-Funktionalen auf.

Definition

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Sei   ein  -Vektorraum (meist   oder  ) sowie  .

Dann heißt die Menge   absorbierend, wenn es zu jedem   eine positive reelle Zahl   gibt, so dass

 

für alle   mit  .

Äquivalent dazu ist die folgende Definition: für alle   existiert ein reelles  , so dass

 

für alle   mit  . Die Menge   wird also durch   so vergrößert, bis sie jedes Element des Vektorraumes absorbiert.

Bemerkung

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Diese zweite Formulierung scheint auf den ersten Blick natürlicher. Die erstgenannte Definition wird jedoch bevorzugt, da sie sich auf natürliche Weise auf die Definition einer beschränkten Menge eines topologischen Moduls übertragen lässt (nämlich eine Menge, die von jeder Nullumgebung absorbiert wird). Wegen der möglichen Existenz von Nullteilern und der möglichen Nichtexistenz von beschränkten Nullumgebungen ist in diesem Fall eine Definition im Sinne der zweiten Formulierung nicht sinnvoll.

Beispiel

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In einem topologischen Vektorraum (z. B. in einem normierten Raum) ist jede Nullumgebung   absorbierend, denn ist   ein Vektor in  , so ist  , d. h.   für hinreichend große  .

Einfache Konsequenzen

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Da   positiv gefordert wird, muss   den Nullvektor enthalten.

Des Weiteren ist für jede absorbierende Menge immer

 

und das Minkowski-Funktional

 

ist endlich. Beide Eigenschaften werden teils auch zur Definition genutzt.

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Literatur

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