Adjunktionsraum

Der Adjunktionsraum (auch Verklebungsraum) ist in der Topologie ein Quotientenraum, der durch das Verkleben zweier topologischer Räume entsteht.

Definition

Seien $X$ und $Y$ zwei topologische Räume. Weiter sei $A\subseteq Y$ ein abgeschlossener Unterraum und $f\colon A\to X$ eine stetige Abbildung. Nun definieren wir auf der disjunkten Vereinigung $X\sqcup Y$ eine Äquivalenzrelation $\sim$ durch

$a\sim f(a),\;\forall a\in A,$

der daraus resultierende Quotientenraum

$X\cup _{f}Y:=(X\sqcup Y)/\sim$

nennt man Adjunktionsraum. Die Funktion $f$ nennt man anhängende oder anklebende Funktion. Man sagt, dass man $Y$ an $X$ entlang $f$ anklebt (resp. anhängt).

Erläuterungen

• Die Äquivalenzrelation sagt, dass man ein $x\in X$ mit allen Punkten $f^{-1}(x)\subseteq A$ identifiziert (falls welche getroffen werden).
• Falls $A=\emptyset$, dann ist $X\cup _{f}Y=X\sqcup Y$.

Beispiele

• Sei $x_{0}\in X$ und $y_{0}\in Y$. Wir werden beide Mengen nun an diesen Punkten verkleben, das heißt sei $A=\{y_{0}\}\subseteq Y$ und $f\colon A\to X,\;f(y_{0})=x_{0}$, dann haben wir $y_{0}\sim x_{0}$. Der Adjunktionsraum $X\cup _{f}Y$ ist das Wedge-Produkt $X\vee Y$.
• Sei $f:S^{1}\to S^{1},\;x\to x^{2}$, dann haben wir $x\sim -x,\forall x\in S_{1}$ und $D^{2}\cup _{f}S^{1}$ ist die reelle projektive Gerade $\mathbb {R} P^{2}$.
• Sei $X=D^{2}$ und $Y=D^{2}$. Sei $A=\partial Y$ und $f(x)=x$, dann ist $X\cup _{f}Y$ gerade die $2$-Sphäre $S^{2}$.
• Seien $M$ und $N$ zwei nicht-leere $n$-Mannigfaltigkeiten mit Rand und $f:\partial N\to \partial M$ ein Homöomorphismus zwischen den Rändern. Dann ist der Adjunktionsraum $M\cup _{f}N$ entstanden durch das Ankleben von $N$ an $M$ entlang ihrer Ränder.
• Sei $X=[0,1]\times [0,1]$ das Einheitsquadrat. Verklebe nun die Seiten $A=\{0\}\times [0,1]$ und $B=\{1\}\times [0,1]$ durch die Äquivalenzrelation $(0,s)\sim (1,s),\;\forall s\in [0,1]$. Dann ist der Adjunktionsraum der Zylinder $S^{1}\times [0,1]$.

Eigenschaften der Quotientenabbildung

Sei $X\cup _{f}Y$ ein Adjunktionsraum und $q\colon X\sqcup Y\to X\cup _{f}Y$ die Quotientenabbildung.

1. Dann ist die Restriktion von $q|_{X}$ eine topologische Einbettung und $q(X)$ ein abgeschlossener Unterraum von $X\cup _{f}Y$.
2. Dann ist die Restriktion von $q|_{Y\setminus A}$ eine topologische Einbettung und $q(Y\setminus A)$ ein offener Unterraum von $X\cup _{f}Y$.
3. $X\cup _{f}Y=q(X)\sqcup q(Y\setminus A)$.

Mannigfaltigkeiten verkleben

Seien $M$ und $N$ zwei nicht-leere $n$-Mannigfaltigkeiten mit Rand und $f:\partial N\to \partial M$ ein Homöomorphismus zwischen den Rändern. Dann ist der Adjunktionsraum $M\cup _{f}N$ eine $n$-Mannigfaltigkeiten ohne Rand. Weiter existieren zwei topologische Einbettungen $e\colon M\to M\cup _{f}N$ und $h\colon N\to M\cup _{f}N$, deren Bilder abgeschlossene Teilmengen von $M\cup _{f}N$ sind und für die gilt

• $e(M)\cup h(N)=M\cup _{f}N$,
• $e(M)\cap h(N)=e(\partial M)=h(\partial N)$.

Literatur

• Tammo tom Dieck: Algebraic Topology. Hrsg.: EMS Press. ISBN 978-3-03719-048-7, doi:10.4171/048. 
• Tej Bahadur Singh: Introduction to Topology. Hrsg.: Springer Nature Singapore. 2019, S. 156. 
• John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds. Hrsg.: Springer. 2. Auflage.