Akbulut-Korken

In der Mathematik kommen Akbulut-Korken in der Theorie 4-dimensionaler Mannigfaltigkeiten vor. Insbesondere werden sie bei der Konstruktion exotischer 4-dimensionaler Räume ($\mathbb {R} ^{4}$‘s) verwendet.

Während für topologische 4-Mannigfaltigkeiten der h-Kobordismus-Satz gilt, ist dies für differenzierbare 4-Mannigfaltigkeiten nicht der Fall. Stattdessen gilt aber der folgende Satz von Cynthia L. Curtis, Michael Freedman, Wu-Chung Hsiang, Robert Stong:

In jedem 5-dimensionalen h-Kobordismus $W$ zwischen 4-dimensionalen Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ gibt es kompakte, zusammenziehbare 4-dimensionale Untermannigfaltigkeiten mit Rand $A\subset M,B\subset N$ und einen in $W$ als Untermannigfaltigkeit mit Rand enthaltenen (kompakten und zusammenziehbaren) h-Kobordismus $K$ zwischen $A$ und $B$, so dass $W$ außerhalb von $K$ ein trivialer Kobordismus ist, es also einen Diffeomorphismus

$W\setminus Int(K)\simeq (M\setminus Int(A))\times \left[0,1\right]$

gibt. $K$ kann so gewählt werden, dass es diffeomorph zur Vollkugel ${\mathbf {D} }^{5}$ ist, dass $W\setminus K$ einfach zusammenhängend ist und dass es einen Diffeomorphismus $A\to B$ gibt, dessen Einschränkung auf den Rand eine Involution ist.

Zwei h-kobordante 4-Mannigfaltigkeiten $M,N$ müssen also nicht diffeomorph sein, man kann aber $N$ aus $M$ gewinnen durch Ausschneiden einer kompakten, zusammenziehbaren Untermannigfaltigkeit $A$ und Wiedereinkleben mittels einer Involution von $\partial A$.

Die 4-Mannigfaltigkeit $A$ ist homöomorph, aber nicht diffeomorph zur Vollkugel ${\mathbf {D} }^{4}$ und wird als ein Akbulut-Korken bezeichnet. Er ist nach Selman Akbulut benannt.

Jeder Akbulut-Korken kann in einen exotischen $\mathbb {R} ^{4}$ eingebettet werden. Genauer kann man im obigen Satz einen $K$ enthaltenden und außerhalb von $K$ trivialen, offenen, h-Kobordismus $U\subset W$ finden, der homöomorph zu $\mathbb {R} ^{4}\times \left[0,1\right]$ ist.

Literatur

• A. Scorpan: The wild world of 4-manifolds, Amer. Math. Soc. 2005, ISBN 978-0-8218-3749-8
• Robert Gompf, Andras Stipsicz: 4-manifolds and Kirby calculus, American Mathematical Society 1999