Anosov-Diffeomorphismus

Beispiel chaotischer Dynamik

In der Mathematik sind Anosov-Diffeomorphismen, benannt nach Dmitri Wiktorowitsch Anossow, ein gut verstandenes Beispiel chaotischer Dynamik. Sie zeigen einerseits alle typischen Effekte chaotischen Verhaltens, sind andererseits aber einer mathematischen Behandlung gut zugänglich.

Definition

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Ein Diffeomorphismus   einer riemannschen Mannigfaltigkeit   heißt Anosov-Diffeomorphismus, wenn es eine stetige,  -invariante Zerlegung

 

des Tangentialbündels   gibt, so dass   bzw.   durch   gleichmäßig kontrahiert bzw. expandiert werden, d. h., es gibt   mit

 
 .

Die Unterbündel   und   heißen stabiles und instabiles Bündel.

Beispiel

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Das Bild zeigt, wie die Abbildung mit der Matrix   das Einheitsquadrat verformt und wie die Stücke modulo 1 neu arrangiert werden. Die gestrichelten Linien geben die Richtungen maximaler Streckung und Stauchung an, sie entsprechen den Eigenvektoren der Matrix.

Die durch

 

oder in Matrixnotation

 

definierte Selbstabbildung des Torus   ist ein Anosov-Diffeomorphismus: die Matrix   hat zwei Eigenwerte   und  , die Eigenvektoren liefern eine Zerlegung

 

in jedem Punkt  , wobei   und   nach der kanonischen Identifizierung

 

den Eigenvektoren zu   und   entsprechen. Die Projektionen der zu den Eigenvektoren parallelen Geraden auf den Torus sind die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten der Abbildung.

Existenz

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Eine Vermutung von Smale besagt, dass es Anosov-Diffeomorphismen nur auf Mannigfaltigkeiten gibt, die zu einer Infranilmannigfaltigkeit homöomorph sind. Auf Infranilmannigfaltigkeiten   sind Anosov-Diffeomorphismen stets zu affinen (d. h. von einem Homomorphismus   induzierten) Abbildungen konjugiert.[1][2] Es gibt aber Anosov-Diffeomorphismen auf Mannigfaltigkeiten, die zu einer Infranilmannigfaltigkeit nur homöomorph (und nicht diffeomorph) sind.[3]

Literatur

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Stephen Smale: Differentiable dynamical systems. Bull. Amer. Math. Soc. 73 1967 747–817 pdf

Einzelnachweise

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  1. John Franks: Anosov diffeomorphisms. Proc. Symp. in Pure Math of AMS 14, 61-94, 1968
  2. Anthony Manning: There are no new anosov diffeomorphisms on tori. Amer. Jour. of Math. 96, 424 – 429, 1974
  3. F. T. Farrell, L. E. Jones: Anosov diffeomorphisms constructed from   Diff  , Topology 17, 273–282, 1978