Archimedischer Algorithmus

Verfahren des griechischen Mathematikers Archimedes von Syrakus zur Annäherung an die Kreiszahl Pi

Der Archimedische Algorithmus ist ein um 240 v. Chr. gefundenes Verfahren des griechischen Mathematikers Archimedes von Syrakus (ca. 287–212 v. Chr.) zur beliebig genauen Annäherung an die Kreiszahl . Archimedes betrachtete regelmäßige Polygone, die dem Einheitskreis vom Umfang ein- und umbeschrieben sind und deren Umfänge jeweils von unten und von oben gegen den Umfang des Einheitskreises konvergieren.

Diese Ideen gehen zwar schon auf Antiphon von Rhamnus und Bryson von Herakleia um 430 v. Chr. zurück, jedoch stammt der entscheidende Aspekt der fortlaufenden Verdopplung der Polygon-Eckenanzahl von Archimedes.[1]

Mathematische Formulierung

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Darstellung im regelmäßigen Sechseck
 
Planfigur

Archimedes formulierte sein Ergebnis in seiner Abhandlung Die Kreismessung folgendermaßen:

„Der Umfang eines jeden Kreises ist dreimal so groß als der Durchmesser und noch um etwas größer, nämlich um weniger als ein Siebentel, aber um mehr als zehn Einundsiebenzigstel des Durchmessers.“[2]

Diese Aussage kommt in der Beziehung

 

zum Ausdruck.

Beschreibung und Erläuterung

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Da die Dreiecke   und   ähnlich zueinander sind, folgt nach dem Strahlensatz:

  (1)

Da das Dreieck   rechtwinklig ist, folgt nach dem Satz des Pythagoras:

  (2)

Da das Dreieck   ebenfalls rechtwinklig ist, folgt wieder nach dem Satz des Pythagoras:

  (3)

Wegen (2) und (3) gilt:

 

Die Anwendung der zweiten binomischen Formel führt zu der Rekursionsformel:

 

Nach Einsetzen von (3) in (1) ergibt sich die nicht-rekursive Formel:

 

Mit dem Startwert   im regelmäßigen Sechseck liefert der 96. Rekursionsschritt:

  (4)

Nach Einsetzen von   in (4) erhält man:

  (5)

Der Näherungswert für den Kreisumfang   ergibt sich hieraus jeweils durch Multiplikation von (4) und (5) mit der Eckenzahl 96.[3]

Literatur

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Commons: Archimedes – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

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  1. Archimedes-Algorithmus zur Berechnung von   aus: Guido Walz: Lexikon der Mathematik Band 1, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2017, ISBN 978-3-662-53497-7, Seite 100
  2. Archimedes: Kreismessung. Abschnitt III, Seite 371
  3. Markus Ruppert: Archimedes, der Kreis und die Kugel aus der Zeitschrift mathematiklehren, Heft 165 (2011), Friedrich Verlag, S. 48–53