Arithmetische Reihen sind spezielle mathematische Reihen. Eine arithmetische Reihe entsteht durch die Summierung einer arithmetischen Folge.[1] Arithmetische Reihen sind üblicherweise divergent (außer im Spezialfall einer konstanten Folge). Es interessieren deshalb vor allem die Reihenglieder (d. h. die Partialsummen), die auch als endliche arithmetische Reihen bezeichnet werden.

Definition

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Ist   eine arithmetische Folge, so ist die Folge der Partialsummen   mit

 

eine arithmetische Reihe.

Berechnung

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Für die Glieder einer arithmetischen Folge   gilt die explizite Formel  . Durch Einsetzen in den Summenausdruck erhält man

 .

Hieraus lassen sich verschiedene geschlossene Formeln für   gewinnen:

  • Bei Kenntnis von   und   lässt sich   berechnen als
 .[A 1]
  • Bei Kenntnis von   und   lässt sich   berechnen als
 .[A 2]

Die letzte Formel lässt sich besonders leicht merken: Die Summe einer endlichen arithmetischen Folge ist die Anzahl der Glieder multipliziert mit dem arithmetischen Mittel des ersten und des letzten Gliedes.

Formal beweisen lassen sich die beiden Formeln mithilfe der Methode der vollständigen Induktion.

Spezielle Summen

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Für die Summe der ersten   natürlichen Zahlen   gilt die Gaußsche Summenformel

 

und für die Summe der ersten   ungeraden natürlichen Zahlen   gilt

  .

Arithmetische Reihen höherer Ordnung

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Die Definition einer arithmetischen Reihe lässt sich mithilfe von arithmetischen Folgen höherer Ordnung verallgemeinern. Eine Reihe heißt demnach arithmetische Reihe höherer Ordnung, wenn sie durch Summierung einer arithmetischen Folge höherer Ordnung entsteht.[2]

Berechnung

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Formeln zur Berechnung von Gliedern arithmetischen Reihen allgemeiner Ordnung:

  •  
  •  
  •  

Im allgemeinen Fall gilt die Faulhabersche Formel:

  •  .

Dabei bezeichnet   die  -te Bernoulli-Zahl.

Siehe auch

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Anmerkungen

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  1. Diese Formel erhält man zum Beispiel, indem man   schreibt und auf die zweite Summe die Gaußsche Summenformel anwendet.
  2. Diese Formel erhält man aus der ersten Formel:  .

Einzelnachweise

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  1. Walter Purkert, Alexander Herzog: Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 9. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2022, ISBN 978-3-658-36741-1, S. 97.
  2. Ilja Nikolajewitsch Bronschtein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2001, ISBN 3-8171-2005-2, S. 18.