Artin-Mazursche Zeta-Funktion

In der Mathematik ist die nach Michael Artin and Barry Mazur benannte Artin-Mazursche Zeta-Funktion ein Hilfsmittel beim Studium iterierter Funktionen in dynamischen Systemen. Sie wird gelegentlich auch als topologische Zeta-Funktion bezeichnet.

Artin und Mazur haben diese Zeta-Funktion im Jahr 1965 eingeführt. Diese Funktion wurde dann von Stephen Smale weiter untersucht und allgemein bekannt gemacht.

Die Artin-Mazursche Zeta-Funktion wird als formale Potenzreihe definiert:

$\zeta _{f}(z)=\exp \sum _{n=1}^{\infty }{\textrm {card}}\left({\textrm {Fix}}(f^{n})\right){\frac {z^{n}}{n}},$

Dabei bezeichnet ${\textrm {Fix}}(f^{n})$ die Menge der Fixpunkte der $n$-ten Iteration der Funktion $f$, und ${\textrm {card}}({\textrm {Fix}}(f^{n})$ die Kardinalität dieser Menge von Fixpunkten. Dabei sind hier nur endliche Kardinalitäten zugelassen.

Die Artin-Mazursche Zeta-Funktion ist eine topologische Invariante, das heißt, sie ist invariant unter topologischen Konjugationen. Damit verbindet sie lokale Eigenschaften der Funktion $f$ mit globalen Eigenschaften der von den diskreten Trajektorien (Orbits) erzeugten Mannigfaltigkeit.

Umfassende Konvergenzuntersuchungen wurden von William Parry und Mark Pollicott durchgeführt.

Eine Weiterentwicklung der Artin-Mazursche Zeta-Funktion in der Theorie der dynamischen Systeme erfolgte durch David Ruelle, Viviane Baladi und andere zur Ruelleschen Zeta-Funktion und dynamischen Zeta-Funktion.

Weblinks

• John Baez: This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 216). 2005 (zum Zusammenhang mit anderen Zeta-Funktionen).
• David Ruelle: Dynamical Zeta Functions and Transfer Operators. 2002 (PDF; 233 kB).
• Predrag Cvitanović et al.: Chaos: Classical and Quantum. 2009. (u. a. Kapitel 15 zur Anwendung in der theoretischen Physik).