Asymptotische Dichte

Die asymptotische Dichte (auch natürliche Dichte) ist ein zahlentheoretischer Grenzwert, der den Anteil einer Untermenge natürlicher Zahlen an der Menge natürlicher Zahlen angibt.

Asymptotische Dichte

Sei $A\subseteq \mathbb {N}$ und definiere die Zählfunktion

$a(n):=|\{a\leq n:a\in A\}|$

für ein $n\in \mathbb {N}$, wobei $|\cdot |$ die Mächtigkeit bezeichnet.

Falls der Grenzwert

$d(A):=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}$

existiert, so nennt man ihn die asymptotische Dichte von $A$. Es gilt $0\leq d(A)\leq 1$.

Erläuterungen

Bei der asymptotischen Dichte handelt es sich um einen Spezialfall einer allgemeinen Dichte von der Form

$D(A)=\lim \limits _{n\to \infty }\sum \limits _{a\leq n,a\in A}\lambda _{a}/\sum \limits _{x\leq n}\lambda _{x}.$

Die asymptotische Dichte erhält man bei der Wahl $\lambda _{x}=1$ für alle $x\geq 1$.

Eine weitere übliche Dichtefunktion ist die logarithmische Dichte $\delta (A)$, welche man durch die Wahl $\lambda _{x}=1/x$ für alle $x\geq 1$ erhält. Für den natürlichen Logarithmus gilt

$\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\approx \log(n)+\gamma$

wobei $\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet. Somit definiert man die logarithmische Dichte als

$\delta (A)=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {1}{\log(n)}}\sum \limits _{a\leq n,a\in A}{\frac {1}{a}},$

falls sie existiert.

Obere und untere asymptotische Dichte

Die obere asymptotische Dichte ${\overline {d}}(A)$ von $A$ ist durch

${\overline {d}}(A)\colon =\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}$

definiert, wobei lim sup der Limes superior ist. Ebenso ist ${\underline {d}}(A)$ die durch

${\underline {d}}(A)\colon =\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}$

definierte untere asymptotische Dichte von $A$. $A$ hat nur dann eine asymptotische Dichte $d(A)$, wenn ${\underline {d}}(A)={\overline {d}}(A)$ gilt. In diesem Fall existiert der Grenzwert

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}={\underline {d}}(A)={\overline {d}}(A)=\colon d(A)$

und daher kann durch ihn $d(A)$ definiert werden.

Beispiele

• Wenn $d(A)$ für die Menge $A$ existiert, dann gilt für die bezüglich $\mathbb {N}$ komplementäre Menge ${\overline {A}}$: $d({\overline {A}})=1-d(A)$
• $d(\mathbb {N} )=1$
• Für eine beliebige endliche Menge $E$ natürlicher Zahlen gilt: $d(E)=0$
• Für die Menge $A=\{n^{2};n\in \mathbb {N} \}$ aller Quadratzahlen gilt: $d(A)=0$
• Für die Menge $A=\{2n;n\in \mathbb {N} \}$ aller geraden Zahlen gilt: $d(A)=1/2$
• Allgemeiner gilt für jede arithmetische Folge $A=\{an+b;n\in \mathbb {N} \}$ mit positivem $a$: $d(A)=1/a$
• Für die Menge $P$ aller Primzahlen erhält man aufgrund des Primzahlsatzes: $d(P)=0$
• Die Menge aller quadratfreien natürlichen Zahlen hat die Dichte $6/\pi ^{2}=1/\zeta (2)$ mit der Riemannschen Zetafunktion $\zeta$.
• Die Dichte abundanter Zahlen liegt zwischen 0,2474 und 0,2480.
• Die Menge $A=\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }\left\{2^{2n},\dotsc ,2^{2n+1}-1\right\}$ aller Zahlen, deren Binärdarstellung eine ungerade Anzahl an Stellen hat, ist ein Beispiel für eine Menge ohne asymptotische Dichte. Für die untere und obere asymptotische Dichte gilt in diesem Fall:

${\underline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\dotsb +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}$

${\overline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\dotsb +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}}$

Quellen

• Melvyn B. Nathanson: Elementary methods in number theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 195). Springer, New York 2000, ISBN 0-387-98912-9 (englisch, zbmath.org). 
• Hans-Heinrich Ostmann: Additive Zahlentheorie (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 7). Erster Teil: Allgemeine Untersuchungen. Springer-Verlag, Berlin / Göttingen / Heidelberg 1956, ISBN 978-3-662-11030-0 (books.google.de – Leseprobe). 
• Jörn Steuding: Probabilistic number theory. (PDF) In: psu.edu. citeseerx.ist.psu.edu, abgerufen am 7. Februar 2016. 
• Gérald Tenenbaum: Introduction to analytic and probabilistic number theory (= Cambridge studies in advanced mathematics. Band 46). Cambridge university press, Cambridge 1995, ISBN 0-521-41261-7 (französisch, zbmath.org).