Asymptotische Entwicklungen vom Plancherel-Rotach-Typ

asymptotische Resultate für orthogonale Polynome, benannt nach Michel Plancherel und Walter Rotach

Als asymptotische Entwicklungen vom Plancherel-Rotach-Typ werden asymptotische Resultate für orthogonale Polynome bezeichnet. Sie sind nach den Schweizer Mathematikern Michel Plancherel und seinem PhD-Studenten Walter Rotach benannt, welche sie zuerst für das Hermitesche Polynom hergeleitet hatten. Man nennt asymptotische Entwicklungen dieser Form für orthogonale Polynome vom Plancherel-Rotach-Typ.

Der Fall für das zugeordnete Laguerre-Polynom stammt von dem Schweizer Mathematiker Egon Möcklin, der unter Plancherel und George Pólya an der ETH Zürich promovierte.[1]

Die hier aufgelisteten asymptotischen Entwicklungen stammen aus der Standardreferenz für orthogonale Polynome von Gábor Szegő.[2]

Hermitesche Polynome

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Seien   und   positiv und fix, dann gilt

  • für   und  
 
  • für   und  
 
  • für  ,   komplex und beschränkt
 

wobei   die Airy-Funktion bezeichnet.

Laguerre-Polynome

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Sei   beliebig und reell,   und   positiv und fix, dann gilt

  • für   und  
 
  • für   und  
 
  • für   sowie   komplex und beschränkt
 .

Einzelnachweise

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  1. Egon Möcklin: Asymptotische Entwicklungen der Laguerreschen Polynome. 1934, doi:10.3929/ethz-a-000092417.
  2. G. Szegő: Orthogonal polynomials. Hrsg.: American Mathematical Society. 4. Auflage. Providence, Rhode Island 1975, ISBN 0-8218-1023-5, S. 200–201.