Bachet-Methode

Die Bachet-Methode ist ein Verfahren zur Erzeugung magischer Quadrate ungerader Ordnung. Es stammt von dem französischen Mathematiker Claude Gaspard Bachet de Méziriac.

Verfahren

• In einem leeren Quadrat ungerader Ordnung $n$ mit $n^{2}$ Feldern wird an jeder Quadratseite außen eine dreieckige Anordnung von Feldern angefügt.
• Die natürlichen Zahlen von $1$ bis $n^{2}$ werden von oben beginnend der Reihe nach in Gruppen von je $n$ Feldern diagonal nach rechts unten in die leeren Felder so eingetragen, dass eine auf der Spitze stehende n-reihige Zahlenanordnung entsteht, bei der jedes zweite Feld in waagerechter bzw. senkrechter Richtung ungenutzt bleibt.
• Die an den Quadratseiten außen angefügten dreieckförmigen Zahlenfelder werden jeweils auf die im Quadrat gegenüberliegenden dreieckförmigen ungenutzten Lückenfelder parallel verschoben.
• Auf diese Weise ist ein fünfreihiges normales magisches Quadrat entstanden.

Eigenschaften

• Das mittlere Feld des magischen Quadrats ist mit der Zahl $z={\tfrac {n^{2}+1}{2}}$ belegt. Alle zu dieser Zahl symmetrischen Felder haben die Summe $n^{2}+1$.
• Aus den Zahlen $1$ bis $n^{2}$ lassen sich Paare mit jeweils identischer Summe bilden. Verbindet man jedes dieser Zahlenpaare durch eine gerade Linie, so entsteht ein sternförmiges mehrfach punkt- und achsensymmetrisches Muster.

Beispiel

Die nachfolgende Darstellung verdeutlicht die Entstehung eines fünfreihigen magischen Quadrats nach der Bachet-Methode und zeigt das Symmetriemuster der Übersichtlichkeit halber in zwei Bildern.

Das mittlere Feld des Quadrats ist mit der Zahl ${\tfrac {5^{2}+1}{2}}=13$ belegt. Alle zu dieser Zahl symmetrischen Felder haben die Summe $5^{2}+1=26$. Aus den Zahlen $1$ bis $25$ lassen sich genau zwölf Paare mit jeweils identischer Summe $26$ bilden.

Weblinks

Commons: Magisches Quadrat – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Heinz-Klaus Strick: Claude Gaspar Bachet de Méziriac (1581–1638) Mathematischer Monatskalender vom 1. Oktober 2021 auf spektrum.de, abgerufen am 16. September 2022
• Hans Walser: Magische Symmetrie auf walser-h-m.ch, abgerufen am 16. September 2022