Bahnformel

Die Bahnformel ist ein mathematischer Satz aus der Gruppentheorie. Sie wird oft kurz einprägsam zusammengefasst als: „Die Länge der Bahn ist der Index des Stabilisators.“

Der Bahnensatz

Formulierung

Sei $\ (G,\cdot )$ eine Gruppe und $\circ :G\times M\rightarrow M$ eine Operation von $G$ auf einer Menge $M$. Dann ist für jedes $x\in M$ die Abbildung

$G/G_{x}\rightarrow G\circ x\ ,\ g\cdot G_{x}\mapsto g\circ x$

eine wohldefinierte Bijektion. Dabei bezeichnet

• $G\circ x:=\{g\circ x\ |\ g\in G\}\subseteq M$ die Bahn von $x$,
• $G_{x}:=\{g\in G\ |\ g\circ x=x\}\leq G$ den Stabilisator von $x$ und
• $G/G_{x}:=\{g\cdot G_{x}\ |\ g\in G\}\subseteq {\mathcal {P}}(G)$ die Menge der Linksnebenklassen der Untergruppe $G_{x}$ in $G$.

Beweis

Siehe: Beweis des Bahnensatzes im Beweisarchiv

Aus dem Bahnensatz folgert man die Bahnformel.

Bahnformel

Im Fall $|G\circ x|<\infty$ ist $(G:G_{x})=|G\circ x|$. Dabei bezeichnet $\ (G:G_{x}):=|G/G_{x}|$ den Index von $G_{x}$ in $G$. Für endliche Gruppen $G$ gilt daher die Bahnformel

$\ |G|=|G\circ x|\cdot |G_{x}|$.

Beispiele

Konjugation

Jede Gruppe $G$ operiert auf sich selber vermöge der Konjugationsoperation $g\circ x:=gxg^{-1}$. Die Bahn $G\circ x:=\{gxg^{-1}\ |\ g\in G\}$ eines Elements $x\in G$ bezeichnet man als Konjugationsklasse von $x$. Der Stabilisator $G_{x}:=\{g\in G\ |\ gxg^{-1}=x\}=\{g\in G\ |\ gx=xg\}$ heißt Zentralisator von $x$ und wird mit $Z_{G}(x)$ bezeichnet. Die Bahnformel liefert somit für endliche Gruppen $G$

$|G|=|G\circ x|\cdot |Z_{G}(x)|$.

Transitive Operation

Ist die Operation einer endlichen Gruppe $G$ auf $M$ transitiv, so ist

$|M|=|G\circ x|=(G:G_{x})$.

In diesem Fall muss also die Mächtigkeit von $M$ ein Teiler der Gruppenordnung sein.

Siehe auch

• Gruppenoperation
• Satz von Lagrange
• Eine elegante Anwendung der Bahnformel zeigt der Beweis von Ernst Witt (1931) des (kleinen) Satzes von Wedderburn (1905): „Jeder endliche Schiefkörper ist kommutativ.“

Literatur

• Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1. 2. Auflage. Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 67
• Rainer Schulze-Pillot: Elementare Algebra und Zahlentheorie. ISBN 978-3-540-45379-6, S. 121–124

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Bahn (Orbit) und Bahnformel. In: MathWorld (englisch). (englisch)