Bajčičák startete international erstmals bei den Europäischen Olympischen Winter-Jugendtagen 1993 in Aosta und gewann dabei die Bronzemedaille über 7,5 km klassisch. Bei den Junioren-Weltmeisterschaften 1994 in Breitenwang errang er den 51. Platz über 10 km klassisch und bei den Junioren-Weltmeisterschaften 1995 in Gällivare den 13. Platz über 10 km klassisch. Sein Debüt im Weltcup hatte er im Dezember 1995 in Brusson über 15 km Freistil, welches er auf dem 58. Platz über 15 km Freistil beendete. Bei den Junioren-Weltmeisterschaften 1996 wurde er über 10 Kilometer Zweiter und über 30 Kilometer Dritter. Seine ersten Weltcuppunkte erreichte er im Januar 1997 über 10 km klassisch in Hakuba mit Platz 30, die erste Top-10-Platzierung gelang ihm mit Rang 7 im Januar 2001 über 15 km klassisch in Soldier Hollow. Bei der Winter-Universiade 1997 in Muju wurde er Neunter über 15 km klassisch und holte die Goldmedaille mit der Staffel. Zwei Jahre später gewann er bei der Winter-Universiade in Štrbské Pleso erneut die Goldmedaille mit der Staffel. Zudem lief er dort auf den zehnten Platz in der Verfolgung, auf den neunten Rang über 10 km klassisch und auf den vierten Platz über 30 km Freistil. Seinen einzigen Weltcup gewann Bajčičák im Februar 2005 in Reit im Winkl über 15 km Freistil, dazu erreichte er im März desselben Jahres beim Skiathlon in Falun mit Rang 3 ein weiteres Weltcuppodium. Im Januar 2008 wurde er zudem Dritter einer Verfolgungs-Etappe der Tour de Ski. Insgesamt viermal platzierte er sich zudem beim 50-km-Rennen am Holmenkollen in Oslo unter den besten Zehn; sein bestes Ergebnis dort war Platz vier im März 2005.
Seine besten Ergebnisse bei Weltmeisterschaften, bei denen Bajčičák seit 1999 durchgängig teilnahm, waren Platz vier im Skiathlon in Oberstdorf 2005 und Rang sechs im 50-km-Massenstartrennen in der klassischen Technik in Sapporo 2007.
Bajčičák startete zudem für die Slowakei bei den Olympischen Winterspielen in Nagano, Salt Lake City, Turin, Vancouver und Sotschi. Seine besten Platzierungen erreichte er dabei mit Platz sechs im Skiathlon 2006 und jeweils Rang zwölf über 50 km klassisch in Salt Lake City und mit der slowakischen Staffel in Vancouver.
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