Banachlimes

In der Funktionalanalysis ist ein Banachlimes, benannt nach Stefan Banach, ein dem Grenzwert ähnliches Funktional auf dem Folgenraum $\ell ^{\infty }$.

Definition

Im Folgenden bezeichne $T$ den Linksshift

$T(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(x_{n+1})_{n\in \mathbb {N} }$

und $e=(1,1,1,\ldots )$ die Folge, die nur aus Einsen besteht.

Ein Banachlimes ist ein stetiges, lineares Funktional $\ell \colon \ell ^{\infty }\to \mathbb {R}$, das die folgenden Eigenschaften besitzt:

• $\ell (e)=1,$
• für alle $x\in \ell ^{\infty }$ gilt
  • $\ell (x)=\ell (Tx),$
  • falls $x_{n}\geq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$, so ist auch $\ell (x)\geq 0.$

Eigenschaften

Mit Hilfe des Satzes von Hahn-Banach lässt sich beweisen, dass ein Banachlimes existiert. Jedoch ist er nicht eindeutig bestimmt. Aus den in der Definition geforderten Eigenschaften lässt sich ferner folgern, dass $\ell$ den klassischen Limes, der auf dem Raum der konvergenten Folgen $c$ definiert ist, nach $\ell ^{\infty }$ fortsetzt:

$\ell (x)=\lim _{n\to \infty }x_{n}$ für $x\in c$

Es gibt nicht-konvergente Folgen, die einen Banachgrenzwert besitzen. Ein einfaches Beispiel für eine solche ist

$x=(1,0,1,0,\ldots )$

Aufgrund der Linearität von $\ell$ und der Invarianz unter $T$ ist der Banachgrenzwert von $x$ gleich $0{,}5$.

Der Banachgrenzwert ist ein Beispiel für ein Funktional aus $(\ell ^{\infty })'$, das nicht von der Gestalt

$x\mapsto \sum _{n=1}^{\infty }c_{n}x_{n},\quad c\in \ell ^{1}$

ist.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 126.