Barratt-Milnor-Sphäre

Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie sind die Barratt-Milnor-Sphären ein Beispiel eines kompakten endlich-dimensionalen Raumes, dessen Homologiegruppen in beliebig hohen Graden nicht verschwinden und sogar überabzählbare Dimension haben. Sie sind nach Michael Barratt und John Milnor benannt.

Definition

Die $k$-dimensionale Barratt-Milnor-Sphäre kann definiert werden als

$X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k})\in \mathbb {R} ^{k+1}:{\Bigl (}x_{0}-{\frac {1}{n}}{\Bigr )}^{2}+x_{1}^{2}+\ldots +x_{k}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}$.

Es handelt sich also um eine abzählbare Vereinigung von $k$-Sphären, die einen einzelnen Punkt gemeinsam haben und deren Topologie von einer Metrik kommt, in der die Durchmesser der Sphären mit wachsendem $n$ gegen Null konvergieren.

Für $k=1$ erhält man den Hawaiischen Ohrring. Die Bezeichnung Barratt-Milnor-Sphäre wird nur für $k>1$ verwendet.

Homologiegruppen

Für $q\equiv 1\ mod\ (r-1),q>1$ sind die singulären Homologiegruppen $H_{q}(X;\mathbb {Q} )$ nicht Null und sogar überabzählbar.

Eigenschaften

Die $k$-dimensionalen Barratt-Milnor-Sphären sind $(k-1)$-zusammenhängend und lokal $(k-1)$-zusammenhängend.

Sie sind aber nicht semilokal $k$-zusammenhängend.

Sie sind kompakt und $k$-dimensional.

Sie sind die Einpunkt-Kompaktifizierung einer abzählbaren Vereinigung von $\mathbb {R} ^{k}$s.

Literatur

• M. Barratt, J. Milnor: An example of anomalous singular homology, Proc. Amer. Math. Soc. 13, 293–297 (1962)