Basis (Modul)

Der Begriff der Basis eines Moduls ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine Verallgemeinerung des Begriffes der Basis eines Vektorraumes. Wie bei diesen wird eine Basis eines Moduls als linear unabhängiges Erzeugendensystem definiert; im Gegensatz zu Vektorräumen besitzt allerdings nicht jeder Modul eine Basis.

Definition

Ein System von Elementen $\{x_{i}\mid i\in I\}$ eines Moduls $M$ über einem Ring $R$ mit Einselement definiert eine Abbildung

$\xi \colon R^{(I)}\longrightarrow M$

von der direkten Summe von Kopien von $R$ nach $M$, die von den Abbildungen

$R\to M,\quad 1\mapsto x_{i}$

induziert wird.

• Ist $\xi$ injektiv, so heißt $\{x_{i}\mid i\in I\}$ linear unabhängig.
• Ist $\xi$ surjektiv, so heißt $\{x_{i}\mid i\in I\}$ ein Erzeugendensystem.
• Ist $\xi$ bijektiv, so heißt $\{x_{i}\mid i\in I\}$ eine Basis von $M$.

Eine Basis ist also ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

Eigenschaften

Die lineare Unabhängigkeit von $\{x_{i}\mid i\in I\}$ ist äquivalent dazu, dass sich die 0 nur als die triviale Linearkombination darstellen lässt:

$\sum a_{i}x_{i}=0\quad \Longrightarrow \quad a_{i}=0\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ i\in I.$

Ist eine Menge linear abhängig, so folgt daraus – im Gegensatz zum Fall von Vektorräumen – im Allgemeinen nicht, dass sich eines der Elemente als Linearkombination der anderen darstellen lässt. Das hat die folgenden Konsequenzen:

• Eine linear unabhängige Teilmenge lässt sich im Allgemeinen nicht zu einer Basis ergänzen.
• Eine maximal linear unabhängige Teilmenge ist im Allgemeinen keine Basis.
• Ein minimales Erzeugendensystem ist im Allgemeinen keine Basis.

Als Beispiele betrachte man den $\mathbb {Z}$-Modul $\mathbb {Z}$: Das System $\{2\}$ ist maximal linear unabhängig, das System $\{2,3\}$ ist ein minimales Erzeugendensystem, keines der beiden ist eine Basis.

Ein Modul über einem Ring mit Einselement besitzt genau dann eine Basis, wenn er frei ist. Der Begriff freier Modul ist eine Verallgemeinerung der Basisexistenz auf Moduln, deren Grundring nicht notwendig ein Einselement hat. Über Hauptidealringen ist jeder Untermodul eines freien Moduls wieder frei.

Induktive Berechnung einer Basis

Ist $M$ ein freier Modul über einem Hauptidealring $R$ und $N$ ein Untermodul von $M$, dann kann eine Basis von $N$ induktiv berechnet werden:

Sei $\{m_{1},\dotsc ,m_{n}\}$ eine Basis von $M$, betrachte $N_{i}=N\cap \langle m_{1},\dotsc ,m_{i}\rangle$.

Das Ideal $\{r\in R:\exists m\in N_{i+1}{\text{ mit }}m=m'+r\cdot m_{i+1}{\text{ und }}m'\in \langle m_{1},\dotsc ,m_{i}\rangle \}$ werde von dem Ringelement $a_{i+1}$ erzeugt und es sei

$n_{i+1}=m'+a_{i+1}\cdot m_{i+1}\in N_{i+1}{\text{ mit }}m'\in \langle m_{1},\dotsc ,m_{i}\rangle$,

dann gilt $N_{i+1}=N_{i}\oplus R\cdot n_{i+1}$.

Beispiel

Sei $M=\mathbb {Z} ^{3}=\langle (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\rangle$ ein $\mathbb {Z}$-Modul und der Untermodul definiert durch $N:=\{z\in \mathbb {Z} ^{3}:2z_{1}+3z_{2}+4z_{3}=0\land 5{\text{ teilt }}z_{2}\}$.

Eine Basis von $N$ kann nun wie folgt berechnet werden:

$N_{1}=N\cap \langle (1,0,0)\rangle =\{z\in \mathbb {Z} ^{3}:2z_{1}=0\}=\{(0,0,0)\}$

$N_{2}=N\cap \langle (1,0,0),(0,1,0)\rangle =\{z\in \mathbb {Z} ^{3}:2z_{1}+3z_{2}=0\land 5\vert z_{2}\}$

Wir suchen nun das kleinste positive $z_{2}$, welches obige Gleichung erfüllt.

$\Rightarrow N_{2}=\langle (-15,10,0)\rangle$

$N_{3}=N\cap \langle (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\rangle =N$

Wir suchen das kleinste positive $z_{3}$, welches die Gleichung erfüllt.

$\Rightarrow N_{3}=N_{2}\oplus \langle (-2,0,1)\rangle$

Wir haben eine Basis $N=\langle (-15,10,0),(-2,0,1)\rangle$ gefunden.

Beispiele

ℤ als ℤ-Modul

Es sei $M=\mathbb {Z}$ die abelsche Gruppe der ganzen Zahlen als Modul über dem Ring der ganzen Zahlen. Dann ist

• $\{2\}$ eine maximale linear unabhängige Teilmenge, aber kein Erzeugendensystem.
• $\{2,3\}$ ein minimales Erzeugendensystem, aber nicht linear unabhängig.

Die einzigen Basen von $M$ sind $\{1\}$ und $\{-1\}$.

Gitter in ℝⁿ als ℤ-Modul

Gitter mit Basisvektoren $b_{1}=({\tfrac {2}{3}},{\tfrac {1}{3}})$ und $b_{2}=({\tfrac {1}{3}},-{\tfrac {1}{3}})$

Es seien $b_{1},b_{2},\ldots ,b_{m}$ linear unabhängige Vektoren des euklidischen Vektorraums $\mathbb {R} ^{n}$. Dann nennt man den $\mathbb {Z}$-Modul

$\Gamma :=\langle b_{1},\dots ,b_{m}\rangle _{\mathbb {Z} }:=\left\{\left.\textstyle \sum \limits _{i=1}^{m}g_{i}b_{i}\ \right|\,g_{i}\in \mathbb {Z} \right\}$

ein Gitter mit Basis $\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{m}\}$ vom Rang $m$.

Gitter in $\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2}$ spielen eine zentrale Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und elliptischen Kurven, Gitter in $\mathbb {C} ^{g}=\mathbb {R} ^{2g}$ stehen in Beziehung zu komplexen Tori und abelschen Varietäten.