Die Bellsche Zahl, Bellzahl oder Exponentialzahl ist die Anzahl der Partitionen einer -elementigen Menge. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Eric Temple Bell. Die Folge beginnt mit

(Folge A000110 in OEIS)

Bedeutung

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Partitionen

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Eine Partition   einer Menge   ist eine Menge nichtleerer, paarweise disjunkter Teilmengen von  , sodass jedes Element aus   in genau einer Menge aus   vorkommt. Für alle natürlichen Zahlen einschließlich der Null   bezeichnet nun die Bellsche Zahl   die Anzahl   der möglichen verschiedenen Partitionen einer Menge mit der Mächtigkeit  , wobei   die Menge aller möglichen Partitionen darstellt. Formal:

 
 
 
 
 

Die Bellsche Zahl mit dem Index 0,  , – also die Anzahl der Partitionen der leeren Menge   – ist 1, weil die einzige Partition der leeren Menge wieder die leere Menge selbst ist,  . Dies ist so, weil alle Aussagen mit dem Allquantor über die Elemente der leeren Menge wahr sind (siehe leere Menge).

Multiplikative Partitionen

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Sei   eine quadratfreie Zahl,   die Funktion zur Bestimmung der Anzahl der einzigartigen Primfaktoren und  .

Dann ist   die Anzahl der unterschiedlichen multiplikativen Partitionen von  .

Sei zum Beispiel  , so ist   (da 30 aus den drei Primfaktoren 2, 3 und 5 besteht) und   ist damit die Anzahl der multiplikativen Partitionen. Diese lauten:

 

Eigenschaften

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Definition

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Für die Bellschen Zahlen gilt diese Rekursionsformel:

 

Die Dobińskische Formel (Dobiński 1877)[1]

 

erlaubt die explizite Definition der Bellschen Zahlen für alle n ≥ 0. Sie wurde nach dem polnischen Mathematiker Donald Gabriel Dobiński[2] benannt.

Ihre Äquivalenz zur obigen Rekursionsformel lässt sich durch vollständige Induktion beweisen:

Sei

  .

Dann gilt:

 

sowie für n ≥ 0:

 
 

Aus

  und

  folgt schließlich:

 

Somit ist   auch das  -te Moment einer Poisson-Verteilung mit Erwartungswert 1.

Erzeugende Funktionen

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Die erzeugende Funktion der Bellzahlen ist wie folgt darstellbar:

 

Die exponentiell erzeugende Funktion lautet:

 

Dies folgt aus der genannten Dobiński-Formel:

 
 

Kongruenzsätze

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Die Bellschen Zahlen genügen der Kongruenz (Touchard 1933)[3]

 

für natürliche Zahlen   und Primzahlen  , insbesondere   und   und, nach Iteration,[4]

 

Es wird vermutet, dass   die kleinste Periode von   ist.[5][6] Für Primzahlen   ist

 

für   gilt die Kongruenz  .[7]

Da die Stirling-Zahl   zweiter Art die Anzahl der  -Partitionen einer  -elementigen Menge ist, gilt

 

Asymptotik

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Für die Bellzahlen sind verschiedene asymptotische Formeln bekannt, etwa

      mit      

mit der Lambert-W-Funktion  .

Bellsches Dreieck

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Die Bellschen Zahlen lassen sich intuitiv durch das Bellsche Dreieck erzeugen, welches – wie das Pascalsche Dreieck – aus natürlichen Zahlen besteht und pro Zeile ein Element bzw. eine Spalte mehr besitzt. Das Bellsche Dreieck wird gelegentlich auch Aitkens array (nach Alexander Aitken) oder Peirce-Dreieck (nach Charles Sanders Peirce) genannt.

Es wird nach den folgenden Regeln konstruiert:

  1. Die erste Zeile hat nur ein Element: Die Eins:  .
  2. Jede folgende Zeile hat jeweils ein Element mehr als die vorherige Zeile, d. h. die  -te Zeile hat   Elemente.
  3. Das jeweils erste Element jeder Zeile hat den gleichen Wert wie das letzte Element der vorherigen Zeile:  .
  4. Das  -te Elemente der n. Zeile (für  ) ist gleich der Summe des links stehenden  -ten Elements derselben Zeile und des  -ten Elements der vorherigen Zeile (also jene mit der Nummer  ):  .
  5.   ist nun das  -te Element aus der  -ten Zeile   (bzw. das erste Element aus der  -ten Zeile  ).

Die ersten sechs Zeilen, erzeugt nach diesen Regeln, sehen wie folgt aus:

1
1 2
2 3 5
5 7 10 15
15 20 27 37 52
052 067 087 114 151 203
203

Wegen des dritten Schritts sind die Bellschen Zahlen sowohl auf der linken als auch auf der rechten Kante des Dreiecks zu sehen, lediglich mit dem Unterschied, dass in der  -ten Zeile links die Zahl   und rechts die Zahl   steht.

Bellsche Primzahlen

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Im Jahre 1978 formulierte Martin Gardner die Frage, ob unendlich viele Bellsche Zahlen auch Primzahlen sind. Die ersten Bellschen Primzahlen sind:

  (Folge A051130 in OEIS)   (Folge A051131 in OEIS)
2 2
3 5
7 877
13 27644437
42 35742549198872617291353508656626642567
55 359334085968622831041960188598043661065388726959079837

Die nächste Bellsche Primzahl ist  , die etwa   beträgt.[8] Sie ist auch die aktuell größte bekannte Bellsche Primzahl (Stand: 5. August 2018). Im Jahre 2002 zeigte Phil Carmody zunächst, dass es sich bei dieser Zahl wahrscheinlich um eine Primzahl (eine sogenannte PRP-Zahl) handelt, sie also entweder tatsächlich eine echte Primzahl oder eine Pseudoprimzahl ist. Nach einer 17-monatigen Berechnung mit Marcel Martins Programm „Primo“, welches mit einem Verfahren mit elliptischen Kurven arbeitet, bewies Ignacio Larrosa Cañestro schließlich im Jahre 2004, dass es sich bei   um eine Primzahl handelt. Gleichzeitig schloss er weitere Bellsche Primzahlen bis zu einer Grenze von   aus, welche später von Eric Weisstein auf   angehoben wurde.

Einzelnachweise

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  1. G. Dobiński: Summirung der Reihe   für  , Grunert-Archiv 61, 1877, S. 333–336
  2. YYiki: G. Dobínski. Abgerufen am 7. September 2021.
  3. Jacques Touchard: Propriétés arithmétiques de certains nombres récurrents, Annales de la Société scientifique de Bruxelles A 53, 1933, S. 21–31 (französisch)
  4. Marshall Hall: Arithmetic properties of a partition function, Bulletin of the AMS 40, 1934, S. 387 (englisch; nur Abstract)
  5. Christian Radoux: Nombres de Bell, modulo p premier, et extensions de degré p de Fp, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’académie des sciences 281 A, 1975, S. 879–882 (französisch)
  6. Peter L. Montgomery, Sangil Nahm, Samuel S. Wagstaff: The period of the Bell numbers modulo a prime (PDF-Datei, 168 kB), Mathematics of computation 79, 2010, S. 1793–1800 (englisch)
  7. Anne Gertsch, Alain M. Robert: Some congruences concerning the Bell numbers, Bulletin of the Belgian Mathematical Society – Simon Stevin 3, 1996, S. 467–475 (englisch)
  8. 93074010508593618333...(6499 other digits)...83885253703080601131 auf Prime Pages. Abgerufen am 5. August 2018.

Literatur

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