Abschnitt Entwurf 2

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Liste von Verteilungsdichten der Summe gleichverteilter Zufallsvariabler

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Die folgende Liste zeigt die Verteilungsdichten von Zufallsvariablen, die entstehen, wenn man bis zu sechs vollständig unabhängige Zufallsvariable summiert, die gleichverteilt im Intervall [0, 1] sind.

Die Bilder zeigen, wie schnell sich die Gesamtverteilung von einer Rechtecks- in eine Glockenkurve ändert, selbst wenn man nur wenige Zufallsvariable summiert. Die Verteilung nähert sich immer mehr einer Normalverteilung. Dies besagt der zentrale Grenzwertsatz.

Tabelle der Verteilungsdichten

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Verteilungsdichte Bild
    
 
    
 
    
 
    
 
    
 
    
 

Herleitung

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Die Verteilungsdichte der Standardgleichverteilung ist

 

Es sei

 

die Verteilungsdichte der Summe von k standardgleichverteilten Zufallsvariablen.

Es bezeichnet also   die Verteilungsdichte der Summe von k standardgleichverteilten Zufallsvariablen im halboffenen Intervall  .

 

Im folgenden bezeichne   eine Zufallsvariable, die gemäß   verteilt ist.

 

Gemäßder Faltung von Wahrscheinlichkeitsmaßen ergibt sich folgendes.

Für   ist

 


Das heißt, der j-te Zweig der Verteilungsdichte   ergibt sich aus den Integralen von zwei Zweigen von  .

Faltung von Wahrscheinlichkeitsmaßen

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Hier sollte noch das hin.