Berechnung der Ströme und Spannungen bei der Ladung bzw. Entladung des Kondensators
Bezeichnungen ( siehe erstes Bild):
ist die Eingangsspannung (die beim Ladevorgang konstant und größer als Null, beim Entladevorgang immer gleich Null ist).
ist die Spannung über dem Widerstand
, und
ist die momentane Spannung über dem Kondensator
und
die momentane Stromstärke, die überall im Kreis dieselbe ist. Das
aus der Zeichnung wird im Folgenden durchgängig durch
ersetzt, damit der Bezug zum Kondensator
deutlich bleibt. Außerdem wird stillschweigend vorausgesetzt, das in der Zeichnung der Uhrzeigersinn die positive Stromflussrichtung ist).
Die Lösung findet in drei Schritten statt:
1) Herleitung von
allgemein,
2) Herleitung von
allgemein,
Anpassung von
und
an
3a) den Ladevorgang,
3b) den Entladevorgang.
1) Herleitung von
allgemein
Nach der Kirchhoffschen Maschenregel gilt
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(Gl. 1)
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Aus der Definition der Kapazität
, wobei Q die momentane Ladung des Kondensators ist, folgt
. Außerdem gilt nach dem Ohmschen Gesetz
Damit wird aus (1):
![{\displaystyle R\cdot I(t)+{\frac {Q(t)}{C}}=U_{e}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/811edb73fdaa583aa8c4978429d3a62f348b79cb)
Die Gleichung wird nach der Zeit abgeleitet, wobei zu beachten ist, dass
konstant, also
ist.
![{\displaystyle R\cdot {\frac {\mathrm {d} I(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} Q(t)}{C\cdot \mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} U_{e}}{\mathrm {d} t}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8526649c9bee0833825ccef42f69471f07cf1b8)
Mit
(die Änderung der Ladung ist das Produkt aus Stromstärke und Zeitintervall) erhält man:
![{\displaystyle R\cdot {\frac {\mathrm {d} I(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {I(t)\cdot \mathrm {d} t}{C\cdot \mathrm {d} t}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f05a73ef2f9ca143269ae8a46d7b0df96cc2041d)
Das lässt sich gegen
kürzen und zum Schluss noch durch
teilen:
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(Gl. 2)
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Das ist eine homogene, lineare gewöhnliche Differentialgleichung (DGL) mit konstanten Koeffizienten, welche durch die Exponentialfunktion
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(Gl. 3)
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gelöst wird. Darin sind die Konstanten
und
noch unbestimmt.
ist eine für die Schaltung typische Größe und kann gleich berechnet werden,
kann erst später bestimmt werden, weil es von den Anfangsbedingungen abhängt, die für den Lade- und Entladevorgang unterschiedlich sind.
Bestimmung von
(Gl. 3) wird nach der Zeit abgeleitet:
und zusammen mit
aus (Gl. 3) in (GL. 2) eingesetzt:
![{\displaystyle A\cdot \lambda \cdot \mathrm {e} ^{\lambda t}+{\frac {A\cdot \mathrm {e} ^{\lambda t}}{RC}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4dc48c138f3394f16da25c6fbdc13005e3e378)
Weil
und
beide ungleich Null sind, kann man gegen
kürzen:
und erhält
![{\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{RC}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea070373e242692bef0b0f7c8a466fb763b544d)
Das wird in (Gl. 3) eingesetzt und ergibt die allgemeine Lösung der Diffentialgleichung (Gl. 2):
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(Gl.4)
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Das ist die allgemeine Gleichung für den Stromverlauf. Der Parameter A wird später aus den jeweiligen Anfangsbedingungen für den Lade- bzw. Entlade-Vorgang bestimmt.
2) Herleitung von
allgemein
Nach dem Ohmschen Gesetz ist
und mit (Gl. 4) ergibt sich daraus
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(Gl. 5)
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Nach (Gl. 1) ist
Setzt man hier das
ein, erhält man:
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(Gl. 6)
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Das ist die allgemeine Gleichung für den Spannungsverlauf am Kondensator.
3 a) Ladevorgang
Der Kondensator ist anfangs völlig entladen,
Nach (Gl. 1) ist
Aus (Gl. 5) gewinnt man so
![{\displaystyle U_{e}=U_{R}(0)=R\cdot A\cdot \mathrm {e} ^{\frac {0}{RC}}=R\cdot A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66bfafbc79f9a0d43df50578de1613aec10dfade)
und damit
wird erst in (Gl. 4) eingesetzt
![{\displaystyle I(t)=A\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {t}{RC}}}=I(t)={\frac {U_{e}}{R}}\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {t}{RC}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f1bf197107895d9864b57857f812b703f4f9f6e)
und man erhält die Gleichung für den Stromverlauf bei dem Ladevorgang.
Zum Zweiten wird
auch in (Gl. 6) eingesetzt
![{\displaystyle U_{C}(t)=U_{e}-R\cdot {\frac {U_{e}}{R}}\cdot \mathrm {e} ^{\frac {t}{RC}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d96c6de80f040821286d0c3e29f7882d7ea86fde)
wo man noch gegen
kürzt und
vorklammert und so die Gleichung für den Spannungsverlauf am Kondensator beim Ladevorgang erhält:
![{\displaystyle U_{C}(t)=U_{e}\cdot \left(1-\mathrm {e} ^{\frac {t}{RC}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86ae2d41bd6d5baa40424745d2e08ee178462e4)
3 a) Entladung
Der Kondensator ist zuerst auf eine Anfangsspannung
aufgeladen, d. h.
und zum Zeitpunkt
fällt die Eingangsspannung auf Null.
Nach (Gl. 1) ist jetzt
also
Mit
und nach dem ohmschen Gesetz ist
![{\displaystyle I(0)={\frac {U_{R}(0)}{R}}=-{\frac {U_{C}(0)}{R}}=-{\frac {U_{a}}{R}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b80e499063abaae16801087c134524a3166807)
Andererseits ist nach (Gl. 4):
![{\displaystyle I(0)=A\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {0}{RC}}}=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ff07ffb00d91b2579afd5ad2d65c79aef87318a)
und aus den beiden letzten Gleichungen folgt
Dies setzt man in (Gl. 4) ein und erhält die Gleichung für den Stromverlauf bei der Entladung:
![{\displaystyle I(t)=-{\frac {U_{a}}{R}}\cdot \mathrm {e} ^{\frac {t}{RC}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1cedbe1e3977d9f5081077dc6ada6d8f4f0ed8)
Das negative Vorzeichen rührt daher, dass schon zu Anfang dieser Herleitung der Uhrzeigersinn als die positive Stromflussrichtung voraus gesetzt wurde. Bei der Entladung fließt der Strom aber gegen den Uhrzeigersinn, also in negative Richtung.
wird auch in (Gl. 6) eingesetzt, wobei
zu beachten ist) und man erhält die Gleichung für den Spannungsverlauf am Kondensator bei der Entladung:
![{\displaystyle U_{C}(t)=U_{a}\cdot \mathrm {e} ^{\frac {t}{RC}}.=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04002838a3c88fd9dde6706b73e881aae32d6af3)