Benutzer:Chrgue/TabelleLFunktionen

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L-Funktionen im tabellarischen Überblick

Die nachfolgenden Tabellen stellen in kompakter Form wichtige Typen von L-Funktionen und deren grundlegenden Eigenschaften zusammen. Die dabei verwendeten Gamma-Faktoren sind folgendermaßen definiert, wobei $\textstyle \Gamma$ die übliche Gamma-Funktion bezeichnet:

$\Gamma _{\mathbb {R} }(s):=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)$

$\Gamma _{\mathbb {C} }(s):=2\cdot (2\pi )^{-s}\Gamma (s)=\Gamma _{\mathbb {R} }(s)\Gamma _{\mathbb {R} }(s+1)$

Typ	L-Funktion nach Riemann (Riemannsche Zeta-Funktion)	L-Funktionen nach Dirichlet	L-Funktionen nach Dedekind	L-Funktionen nach Hecke	L-Funktionen zu Idelklassencharakteren
Objekt	$\mathbb {Q}$	$\mathbb {Q}$ mit primitivem Dirichlet-Charakter $\chi :(\mathbb {Z} /m)^{\times }\rightarrow \mathbb {T}$	Algebraischer Zahlkörper $K$	Algebraischer Zahlkörper $K$ mit primitivem Hecke-Charakter $\chi :I({\mathfrak {m}})\rightarrow \mathbb {C} ^{\times }$	Algebraischer Zahlkörper $K$ mit Idelklassencharakter $\chi :A^{\times }\longrightarrow \mathbb {C} ^{\times }$
	Körper der rationalen Zahlen, der einfachste algebraische Zahlkörper.	$(\mathbb {Z} /m)^{\times }$ = Multiplikative Gruppe der Einheiten des Restklassenrings $\mathbb {Z} /m,$ $m\in \mathbb {N} .$$\mathbb {T}$= $\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}$= Multiplikative Gruppe aller komplexen Zahlen mit Absolutbetrag 1.	${\mathcal {O}}$ = Ganzheitsring von $K.$ $r_{1}$ = Anzahl der Einbettungen $\tau :K\hookrightarrow \mathbb {C}$ mit $\tau (K)\subset \mathbb {R} .$ $r_{2}$ = Anzahl der Paare komplex konjugierter Einbettungen $\tau :K\hookrightarrow \mathbb {C}$ mit $\tau (K)\not \subset \mathbb {R} .$ Also: $r_{1}+2r_{2}=[K:\mathbb {Q} ].$	${\mathfrak {m}}$ = ganzes Ideal von ${\mathcal {O}},$ dem Ganzheitsring von $K.$ $I({\mathfrak {m}})$ = Multiplikative Gruppe der gebrochenen, zu ${\mathfrak {m}}$ teilerfremden Ideale von $K.$ Ein Gruppenhomomorphismus $\chi :I({\mathfrak {m}})\rightarrow \mathbb {C} ^{\times }$ heißt ein Hecke-Charakter, wenn es einen stetigen Charakter $\chi _{\infty }:(\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }K)^{\times }\rightarrow \mathbb {C} ^{\times }$gibt mit $\chi (\alpha {\mathcal {O}})=\chi _{\infty }^{-1}(\alpha ):=\chi _{\infty }^{-1}(1\otimes \alpha )$ für alle $\alpha \in K_{\mathfrak {m}}$ = $\{\alpha \in K^{\times }:{\mathfrak {p}}\mid {\mathfrak {m}}\Rightarrow v_{\mathfrak {p}}(\alpha -1)\geq \operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}({\mathfrak {m}})\}.$ Dabei sind $v_{\mathfrak {p}}:K\rightarrow \mathbb {R} \cup \{\infty \}$ die Bewertung von $K$ zum Primideal ${\mathfrak {p}}$ und $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}({\mathfrak {m}})$ die Vielfachheit von ${\mathfrak {p}}$ in der Primidealzerlegung von ${\mathfrak {m}}.$ Das Bild von $\chi$ kann, aber muss nicht schon in der Einheitskreisgruppe $\mathbb {T} \subsetneq \mathbb {C} ^{\times }$liegen. Wenn dies der Fall ist, so nennt man $\chi$unitär.	$A$ = $\prod _{v}'K_{v}$ = Ring der Adele von $K.$ $K_{v}$ = Vervollständigung von $K$an der Stelle $v.$ Das Produkt durchläuft alle endlichen und unendlichen Stellen von $K.$ Das Auslassungszeichen am Produktsymbol bedeutet: ein $x=(x_{v})\in \prod _{v}K_{v}$ liegt genau dann in $A,$ wenn $x_{v}\in {\mathcal {O_{v}}}$ für alle endlichen Stellen $v$ bis auf endlich viele. ${\mathcal {O}}_{v}$ = Ganzheitsring von $K_{v}.$ $A^{\times }$= $\prod _{v}'K_{v}^{\times }$ = Gruppe der Idele von $K.$ Hier bedeutet das Auslassungszeichen am Produktsymbol: ein $x=(x_{v})\in \prod _{v}K_{v}^{\times }$liegt genau dann in $A^{\times },$ wenn $x_{v}\in {\mathcal {O}}_{v}^{\times }$für alle endlichen Stellen $v$ bis auf endlich viele. Ein Idelklassencharakter ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus $\chi :A^{\times }\longrightarrow \mathbb {C} ^{\times },$ der trivial ist auf der diagonal in $A^{\times }$eingebetteten Untergruppe $K^{\times }$.
Spezialfälle	-	Riemannsche Zeta-Funktion bei $m=1$ und $\chi$ trivial.	Riemannsche Zeta-Funktion bei $K=\mathbb {\mathbb {Q} } .$	a) L-Funktionen nach Dedekind bei ${\mathfrak {m}}={\mathcal {O}}$ und $\chi$ trivial. b) L-Funktionen nach Dirichlet bei $K=\mathbb {Q}$ und $\chi _{\infty }$entweder trivial oder Vorzeichencharakter $x\mapsto x/|x|.$	Bijektion zwischen Idelklassencharakteren und primitiven Hecke-Charakteren von $K.$
Duales Objekt	$\mathbb {Q}$	$\mathbb {Q}$ mit primitivem Dirichlet-Charakter ${\hat {\chi }}:(\mathbb {Z} /m)^{\times }\rightarrow \mathbb {T} ,$ ${\hat {\chi }}(a):={\overline {\chi (a)}}$	$K$	$K$ mit Hecke-Charakter ${\hat {\chi }}:I({\mathfrak {m}})\rightarrow \mathbb {C} ^{\times },$${\hat {\chi }}({\mathfrak {a}}):=\chi ^{-1}({\mathfrak {a}}).$	$K$ mit Idelklassencharakter ${\hat {\chi }}:A^{\times }\longrightarrow \mathbb {C} ^{\times },$${\hat {\chi }}(\alpha ):=\chi ^{-1}(\alpha )$
	Selbstdual.	${\hat {\chi }}$ hat also die zu $\chi$ komplex konjugierten Funktionswerte.	Selbstdual.	Also gilt ${\hat {\chi }}({\mathfrak {a}})={\overline {\chi ({\mathfrak {a}})}},$falls $\chi$ unitär ist.
Dirichlet-Reihe	$\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n^{s}}}$	$\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}$	$\sum _{{\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}$	$\sum _{{\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}}{\frac {\chi ({\mathfrak {a}})}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}$	Zur Definition der L-Funktion wird das Euler-Produkt verwendet.
	$\zeta (2)$: Basler Problem $\zeta (3)$: Apéry-Konstante	$\chi$ wird geliftet zu $\chi :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {T} \cup \{0\}$ via $\chi (a):=0$, falls $(a,m)\neq 1.$	${\mathfrak {a}}$ durchläuft alle ganzen Ideale ungleich 0 von ${\mathcal {O}},$ ${\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})$ = Absolutnorm von ${\mathfrak {a}}.$	${\mathfrak {a}}$ durchläuft alle ganzen Ideale ungleich 0 von ${\mathcal {O}},$ ${\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})$ = Absolutnorm von ${\mathfrak {a}}.$
Konvergenz	$\Re (s)>1$	$\Re (s)>1$	$\Re (s)>1$	$\Re (s)>c+1$
	$\Re (s)$ = Realteil der komplexen Variable $s.$			Zu jedem Hecke-Charakter gibt es ein eindeutiges $c\in \mathbb {R}$ mit $|\chi |={\mathcal {N}}^{c}.$
Euler-Produkt	$\prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-p^{-1}}}$	$\prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}$	$\prod _{{\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}}{\frac {1}{1-{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}$	$\prod _{{\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}}{\frac {1}{1-\chi ({\mathfrak {p}}){\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}$	$\prod _{v\not \mid \infty }'{\frac {1}{1-\chi _{v}(\pi _{v})q_{v}^{-s}}}$
	$\mathbb {P}$ = $\{2,3,5,7,11,\ldots \}$ = Primzahlen.	$\mathbb {P}$ = $\{2,3,5,7,11,\ldots \}$ = Primzahlen.	${\mathfrak {p}}$ durchläuft alle Primideale ungleich 0 von ${\mathcal {O}}.$	${\mathfrak {p}}$ durchläuft alle Primideale ungleich 0 von ${\mathcal {O}}.$	$v$ durchläuft alle endlichen Stellen von $K,$ an denen $\chi$ unverzweigt ist. $\chi _{v}$ = lokaler Charakter von $\chi$ bei $v.$ $q_{v}$ = Ordnung des Restklassenkörpers von ${\mathcal {O}}_{v}.$$\pi _{v}$ = Uniformisierendes Element aus ${\mathcal {O}}_{v}.$
Grad	1	1	$[K:\mathbb {Q} ]$	$[K:\mathbb {Q} ]$
Gamma-Faktor	$\Gamma _{\mathbb {R} }(s)$	$\Gamma _{\mathbb {R} }(s)$ falls $\chi (-1)=1$ $\Gamma _{\mathbb {R} }(s+1)$ falls $\chi (-1)=-1$	$\Gamma _{\mathbb {R} }(s)^{r_{1}}\Gamma _{\mathbb {C} }(s)^{r_{2}}$	Gamma-Faktoren, Funktionalgleichung und Weiteres lassen sich für die oben definierten "Hecke-Charaktere", die nicht notwendig unitär sind, kaum in der Literatur belegen. Die Autoren drücken sich um das (unübersichtliche) Thema und verweisen auf die Idelklassenklassencharaktere (Tate), wo die Dinge natürlicher und einfacher werden. Vorschlag: Schreibe diese Spalte um auf Basis von Miyake, 3.3., S. 90ff, der zwar nur unitäre Hecke-Charaktere betrachtet, dafür aber alle notwendigen Infos angibt: EP, Gamma-Faktoren, Gauss Sum, Root Number, FE(Lambda), Poles(Lambda) und Poles (fortgesetztem L). Man verliert dann natürlich die Bijektion {L-funcs of prim. Hecke chars} <-> {L-funcs of idel class chars} Siehe auch: Neukirch S. 517 unten und (7.8) auf S. 513. Neukirch (ich denke auch Hecke) definieren Hecke-Charaktere aber nur mit Bild in S^1, sowohl bei chi_fin als auch bei chi_infty; siehe S. 492 (6.1) oder S. 517 (oben). Rohrlich und Shurman definieren das Bild in C*, geben dann aber keine Gamma-Faktoren, usw. an.	$\prod _{v\mid \infty }L(s,\chi _{v})$ mit$L(s,\chi _{v}):={\begin{cases}\Gamma _{\mathbb {R} }(s+s_{v}+m_{v})&v\,{\text{ reell }}(K_{v}=\mathbb {R} )\\\Gamma _{\mathbb {C} }(s+s_{v}+|m_{v}|/2)&v\,{\text{ komplex }}(K_{v}\cong \mathbb {C} )\end{cases}}$wobei $\chi _{v}$ im reellen Fall notwendig von der Form ist $\chi _{v}:\mathbb {R} ^{\times }\rightarrow \mathbb {C} ^{\times },\;t\mapsto |t|^{s_{v}}(t/|t|)^{m_{v}},$ mit eindeutigen $s_{v}\in \mathbb {C} ,m_{v}\in \{0,1\},$ und $\chi _{v}$ im komplexen Fall, nach Wahl einer der beiden möglichen Identifikationen $K_{v}\cong \mathbb {C} ,$ notwendig die Form besitzt $\chi _{v}:\mathbb {C} ^{\times }\rightarrow \mathbb {C} ^{\times },\;z\mapsto |z|^{2s_{v}}(z/|z|)^{m_{v}},$ mit eindeutigen $s_{v}\in \mathbb {C} ,m_{v}\in \mathbb {Z} .$ Wählt man die andere Identifikation, so ändern sich die Werte $s_{v}$ und $|m_{v}|$ nicht.

Langlands-Programm: Milne, MF.pdf, S. 70:

"The [Taniyama-Weil] conjecture is now subsumed by the Langlands program which (roughly speaking) predicts that all Dirichlet series arising from algebraic varieties (more generally, motives) occur among those arising from automorphic forms (better, automorphic representations) for reductive algebraic groups."

Literatur

• Tom M. Apostol: Introduction to Analytic Number Theory. Springer, New York 1976, ISBN 0-387-90163-9. 
• Peter Borwein, Stephen Choi, Brendan Rooney, Andrea Weirathmueller: The Riemann Hypothesis. Springer, New York 2008, ISBN 978-0-387-72125-5. 
• Daniel Bump u. a.: An Introduction to the Langlands Program. Herausgeber: Joseph Bernstein, Stephen Gelbart. Birkhäuser, Boston 2004, ISBN 3-7643-3211-5.
• Henri Cohen: Advanced Topics in Computational Number Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 193). 1. Auflage. Springer-Verlag, New York 2000, ISBN 0-387-98727-4. (Insbesondere Kapitel 3 und 4 sowie Abschnitt 10.3)
• Ze Li Dou, Qiao Zhang: Six Short Chapters on Automorphic Forms and L-Functions. Springer, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-28708-4.
• Stephen Gelbart, lIya Piatetski-Shapiro, Stephen Rallis: Explicit Constructions of Automorphic L-Functions (= Lecture Notes in Mathematics. Band 1254). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1987, ISBN 3-540-17848-1.
• Haruzo Hida: Elementary Theory of L-functions and Eisenstein Series (= London Mathematical Society Student Texts. Band 26). Cambridge University Press, Cambridge 1993, ISBN 978-0-521-43411-9.
• Aleksandar Ivić: The Riemann Zeta-Function: theory and applications. Dover, Mineola 2003, ISBN 0-486-42813-3. 
• Henryk Iwaniec, Emmanuel Kowalski: Analytic Number Theory. American Mathematical Society, Providence 2004, ISBN 0-8218-3633-1. 
• Kenkichi Iwasawa: Hecke's L-Functions - Spring, 1964. SpringerBriefs in Mathematics, Springer Singapore 2019, ISBN 978-981-13-9495-9.
• Bruno Kahn: Zeta and L-Functions of Varieties and Motives (= London Mathematical Society Lecture Note Series. Band 462). Cambridge University Press, 2020, ISBN 978-1-108-70339-0.
• Anatoly A. Karatsuba, S. M. Voronin: The Riemann Zeta-Function. Walter de Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013170-6. 
• Wen-Ching Winnie Li: Zeta and L-functions in number theory and combinatorics (= CBMS regional conference series in mathematics. Band 129). American Mathematical Society, 2019, ISBN 978-1-4704-4900-1.
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1992, ISBN 3-540-54273-6 (insbesondere Kapitel VII).
• Alberto Perelli: An Introduction to the Selberg Class of L-Functions. Vortragsskript, Vilnius Universität, Ph. D. Summer School in Number Theory and Probability, Druskininkai, Litauen, September 2007, Link.
• Cristian Popescu, Karl Rubin, Alice Silverberg (Hrsg.): Arithmetic of L-functions (= IAS/Park City Mathematics Series. Band 18). 1. Auflage. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, USA 2011, ISBN 978-0-8218-5320-7.
• Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series, Proceedings of the Amalfi Conference on Analytic Number Theory (Maiori, 1989), Salerno: Università di Salerno, 1992, S. 367–385. Auch enthalten in: Collected Papers II / Atle Selberg, Springer Collected Works in Mathematics (SCWM), Springer Berlin, Heidelberg 1991, S. 47–64, ISBN 978-3-642-41022-2.