Benutzer:Chricho/Entwürfe/Geschichte der Zahlen

Entwurfsseite, gedacht als Abschnitt in Zahl.

Geschichte

Maya

Auch wichtig, da Null vorhanden

Mittelalter

Indien: Stellenwertsystem, null als Zahl

Negative Zahlen in Indien und China

Araber übernahmen griechische Mathematik, insbesondere auf Euklid und Diophant aufbauend, und indisches Zahlensystem “Two Greek sources inspired Islamic mathematicians. The principal one is Diophantus’s Arithmetica, of which seven of the original thirteen “books” (i. e., large chapters) were translated into Arabic. The other one is unknown to us today but was the origin of a set of indeterminate equations solved in Abū Kāmil's Algebra by Diophantine methods.” http://www.springerlink.com/content/k0772np6766533h4/fulltext.html

Araber:

Schrittweise Loslösung von Brüchen und auch irrationalen Zahlen von geometrischen Verhältnissen, es wird „algebraisch“: Laut einer Quelle waren die Vorreiter Abu Abdallah Muhammad ibn Isa Al-Mahani und Abu Ali Muhammad ibn Abd Al-Aziz Al-Hashimi. Dort steht auch etwas zu Abu Kamil, prüfen!

Abū Kāmil, Shujā ibn Aslam (ca. 850–ca. 930), in Kitāb f ī'l‐jabr wa'l‐muqābala (Algebra) löst Wurzelausdrucke endgültig von der Bedeutung als geometrische Verhältnisse und fasst sie als algebraische Objekte wie die anderen Zahlen auf

http://www.melaracconto.org/algebra/algebra/storia/siti/The Art of Algebra by Karen H_ Parshall.htm

Negative Zahlen erst am Ende des Mittelalters in Europa

Jacques Sesiano: The appearance of negative solutions in mediaeval mathematics. In: Archive for History of Exact Sciences. Band 32, Nr. 2, 1985, ISSN 0003-9519, S. 105–150, doi:10.1007/BF00329870. 

Neuzeit

Vorstellung von reellen Zahlen mit unendlicher Dezimalbruchentwicklung: Simon Stevin, der damit die Existenz von Lösungen gewisser algebraischer Gleichungen. Dann Descartes, siehe Meyers. Laut dem bei Wußing, S. 253 wiedergegebenen Text basierte Descartes’ Darstellung auf Nasir ad-Din at-Tusi, der bereits über reelle Zahlen verfügt habe. Eindeutige Begrifflichkeiten von reellen Zahlen: Cantor, Dedekind, Meray, Weierstraß siehe Bourbaki, E IV.55 Sonstige Fundierung→Frege, Cantor, Russell, Whitehead, Zermelo Vorher kein präzises Verständnis, siehe Infinitesimalzahl. Noch bei Bernard Bolzano: salopp gesagt: wir machen uns die Zahlen, wie sie uns gerade passen (siehe Rechnen Mit Dem Unendlichen), ohne uns auf einen bestimmten Raum festzulegen, wie Bourbaki es sagt: ein Modell. Siehe:

« Mais le pas le plus important restait à faire, à savoir trouver un ‹ modèle › des nombres irrationnels dans la théorie des nombres rationnels; vers 1870, c’était devenu un problème urgent, vu la nécessité, après la découverte des phénomènes ‹ pathologiques › en Analyse, d’éliminer toute trace d’intuition géométrique et de la notion vague de ‹ grandeur › dans la définition des nombres réels. »

„Aber der wichtigste Schrit blieb noch zu tun, ein ‚Modell‘ der irrationalen aus der Theorie der rationalen Zahlen heraus zu erhalten; gegen 1870 war dies ein dringendes Problem geworden, angesichts der Notwendigkeit, nach der Entdeckung ‚pathologischer‘ Phänomene in der Analysis jede Spur geometrischer Intuition und vager Vorstellung von ‚Größe‘ aus der Definition der reellen Zahlen zu eliminieren.“

– Nicolas Bourbaki: Théorie des ensembles

Gleichzeitung jedoch Beweise von Sätzen wie dem Zwischenwertsatz (Cauchy, 1821, siehe en:Intermediate value theorem), welche äquivalent zur Ordnungsvollständigkeit der reellen Zahlen sind. Frage: Wie stark wurden infinitesimale Zahlen als anders wahrgenommen, so wie zuvor irrationale Zahlen? Infinitesimale → Nichtstandardanalysis

Dedekind und Peano definieren natürliche Zahlen. Von Neumann mengentheoretisch. (steht schon was von in dem Artikel)

Literatur

Ifrah Ebbinghaus