Benutzer:Cspan64/Partielle Integration

• eine Funktion leicht integrierbar, z.B.:
• Polynome: $\int x^{n}\,dx={\frac {1}{(n+1)}}x^{n+1}$ (der Grad nimmt zu)
• Exponentialfunktion: $\int e^{x}\,dx=e^{x}$ (bleibt unverändert)
• Sinus und Cosinus gehen zyklisch ineinander über:

$\int \cos x\,dx=\sin x$, $\int \sin x\,dx=-\cos x$, ...

• andere Funktion wird durch Differenzieren vereinfacht
• Polynome: ${\frac {x^{n}}{dx}}=nx^{n-1}$ (der Grad nimmt ab)
• insbesondere verschwindet ${\frac {x}{dx}}=1$ identisch.
• Logarithmus ${\frac {\ln x}{dx}}={\frac {1}{x}}$

${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$

'Faktor 1'

Den Umstand, dass jeder arithmetische Ausdruck beliebig oft den unsichtbaren Faktor 1 beinhaltet, kann man ausnutzen, um die partielle Integration darauf anzuwenden. $\int 1\,dx=x$

Beispiel: ${\begin{array}{lll}\int \ln x\,dx&=&\\\int 1*\ln x\,dx&=&x*\ln x-\int x*{\frac {1}{x}}\,dx\\&=&x*\ln x-\int 1\,dx\\&=&x*\ln x-x\\\end{array}}$

'Phönix durch die Brust ins Auge'

Aufgabe: Berechnen Sie irgendwie:

$\int \sin ^{4}(x)\,dx$

Dem mit dem Hammer ist alles ein Nagel und ich stehe auf partielle Integration:

$\int f(x)\cdot g(x)\,dx=F(x)\cdot g(x)-\int F(x)\cdot g'(x)\,dx$

Also fangen wir an:

$\int \sin ^{4}(x)\,dx=\int \sin(x)\cdot \sin ^{3}(x)\,dx$

$\int \sin ^{4}(x)\,dx=-\cos(x)\cdot \sin ^{3}(x)-\int -\cos(x)\cdot 3\sin ^{2}(x)\cdot \cos(x)\,dx$ $\int \sin ^{4}(x)\,dx=-\cos(x)\cdot \sin ^{3}(x)+3\int \sin ^{2}(x)\cdot \cos ^{2}(x)\,dx$

Nun gut, kann man das weiter abräumen? Glücklicherweise hilft die wohlbekannte Beziehung aus der Grundschule: ;o)

$\cos ^{2}(x)=1-\sin ^{2}(x)$

Damit gilt:

$\sin ^{2}(x)\cdot \cos ^{2}(x)=\sin ^{2}(x)\cdot (1-\sin ^{2}(x))=\sin ^{2}(x)-sin^{4}(x)$

Setzen wir ein:

$\int \sin ^{4}(x)\,dx=-\cos(x)\cdot \sin ^{3}(x)+3\int \sin ^{2}(x)\cdot (1-\sin ^{2}(x))\,dx$

$\int \sin ^{4}(x)\,dx=-\cos(x)\cdot \sin ^{3}(x)+3\int \sin ^{2}(x)\,dx-3\int \sin ^{4}(x)\,dx$

Hurra, da steigt ein Phönix aus der Asche, allerdings nur zum Teil, sozusagen ein Flügel:

$4\int \sin ^{4}(x)\,dx=-\cos(x)\cdot \sin ^{3}(x)+3\int \sin ^{2}(x)\,dx$

Immerhin ist das Problem ein Stück weit abgeräumt und lässt sich zurückführen auf die Aufgabe:

Berechnen Sie irgendwie:$\int \sin ^{2}(x)\,dx$

Wohlan:

$\int \sin ^{2}(x)\,dx=-\cos(x)\cdot \sin(x)-\int -\cos ^{2}(x)\,dx=-\cos(x)\cdot \sin(x)+\int \cos ^{2}(x)\,dx$

Und wieder hilft das 'Grundschulwissen':

$\int \cos ^{2}(x)\,dx=\int (1-\sin ^{2}(x))\,dx=\int 1\,dx-\int \sin ^{2}(x)\,dx=x-\int \sin ^{2}(x)\,dx$

Setzen wir ein:

$\int \sin ^{2}(x)\,dx=-\cos(x)\cdot \sin(x)+x-\int \sin ^{2}(x)\,dx$

Wie schön! Da hüpft der zweite halbe Phönix aus der Asche:

$2\int \sin ^{2}(x)\,dx=x-\cos(x)\cdot \sin(x)+C$

$\int \sin ^{2}(x)\,dx={\frac {1}{2}}(x-\cos(x)\cdot \sin(x))+C$

Nun kommen wir zum Endspurt:

$4\int \sin ^{4}(x)\,dx=-\cos(x)\sin ^{3}(x)+{\frac {3}{2}}(x-\cos(x)\sin(x))+C$

Und damit:

$\int \sin ^{4}(x)\,dx=-{\frac {1}{4}}\cos(x)\sin ^{3}(x)+{\frac {3}{8}}x-{\frac {3}{8}}\cos(x)\sin(x)+C$

Mathematik macht einfach Spaß! :o)