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Konstruktives und ge-curry-tes  :

 

Scott-Topologie einer DCPO

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  •   eine DCPO. (Suprema von gerichteten Teilmengen)
  •   heißt Scott-offen, wenn
    •   Oberhalbmenge, also  ,
    • für alle gerichteten Mengen   gilt  .

Spezialisierungsordnung eines top. Raumes

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  •   topologischer Raum mit offenen Mengen  .
  • Für Punkte   und Mengen   Notation für Umgebungsrelation:  
  • Auf Punktmenge von   definiere die Spezialisierungsordnung durch  
    •   offensichtlich reflexiv, transitiv.
    • ( -Axiom fordert:   ist außerdem antisymmetrisch,
    • ( -Axiom fordert:   ist außerdem antisymmetrisch und symmetrisch.)

Hin und zurück

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  • Ist   eine DCPO, dann ist die Spezialisierungsordnung   von D-mit-Scott-Topologie wieder  .

Ein Satz Definitionen

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  • Im folgenden immer   eine DCPO.
  • Way-below:  ,   falls für alle gerichteten   gilt,  .
  • Stetige DCPO:   ist gerichtet, und  .
  • Stetige Scott-Domain: Stetige DCPO,   ex. für alle nichtleeren  .
  • Stetiger Verband: Vollständiger Verband, der stetige DCPO ist. (Oder auch: stetige DCPO,   ex. für alle endlichen  ).
  • Algebraische DCPO: alle   sind darstellbar als ein  , wobei für alle   gilt   und  . (Algebraische DCPOs sind stetig).
  • Scott-Domain: Stetige Scott-Domain, die algebraische DCPO ist.

Lawvere-FP

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In einer kart. abgeschl. Kat....

  • Def.:   heißt schwach punktsurjektiv, wenn für alle   ex. ein  , sodass für alle  
     .
  • Def.:   hat Fixpunkteigenschaft, wenn für alle   ein  , sodass
     .
  • Satz: Gibt's ein Objekt   und ein schwach punktsurjektives  , so hat   die Fixpunkteigenschaft.
  • Beweis
    • Sei   beliebig. Definiere   per  
    • Sei   jenes mit für alle  :  .
    • Dann ist  .
  • Korollare
    • In Set mit   und Kontraposition: Satz von Cantor.
    • Und noch paar andere, z.B. in Richtung Bbkeit.

Haskell-Typechecker als Mikro-Proof-Assistant...

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{-# LANGUAGE RankNTypes #-}
import Prelude hiding (not)
import Control.Arrow ((&&&))

data Absurd = Absurd { efq :: forall a. a }

type Not a = a -> Absurd
not :: (a -> b) -> Not b -> Not a
not = flip (.)

type Classic a = Not (Not a)
classic :: (a -> b) -> Classic a -> Classic b
classic = not . not

tripleNegElim :: Classic (Not a) -> Not a
tripleNegElim = not eta

eta :: a -> Classic a
eta = flip id

mu :: Classic (Classic a) -> Classic a
mu = tripleNegElim

s :: (a -> b -> c) -> (a -> b) -> (a -> c)
s f g x = (f x) (g x)

excludedMiddle :: Classic (Either (Not a) a)
excludedMiddle = s (not Left) (not Right)

doubleNegElim :: Classic (Classic a -> a)
doubleNegElim = classic disjunctiveSyllogism excludedMiddle

disjunctiveSyllogism :: Either a b -> Not a -> b
disjunctiveSyllogism = foo efq

foo :: (Absurd -> b) -> Either a b -> Not a -> b
foo efb = either (flip $ (.) efb) const

-- Some DeMorgan stuff
forth :: (Not a, Not b) -> Not (Either a b)
forth = uncurry either

back :: Not (Either a b) -> (Not a, Not b)
back = not Left &&& not Right

forth2 :: Not (Not a, Not b) -> Classic (Either a b)
forth2 = not back

back2 :: Classic (Either a b) -> Not (Not a, Not b)
back2 = not forth

Das Supremum der Menge der Postfixpunkte einer monotonen Funktion f ist ein Fixpunkt von f...

{-# LANGUAGE RankNTypes, TypeOperators #-}

tarski :: (forall x y z. (x  y, y  z) -> x  z)
       -> (forall x y. x  y -> f x  f y)
       -> (forall x. x  f x -> x  p)
       -> (forall q. (forall x. x  f x -> x  q) -> p  q)
       -> (f p  p, p  f p)
tarski transitive monotone upperBound least = (pre, post) where
    pre  = upperBound (monotone post)
    post = least $ \h -> transitive (h, monotone (upperBound h))


  impliziert Monotonität von   und  ...

aLemma :: (forall x. x  x)
       -> (forall x y z. x  y -> y  z -> x  z)
       -> (forall a. a  a)
       -> (forall a b c. a  b -> b  c -> a  c)
       -> (forall a x. f x  a -> x  u a)
       -> (forall a x. x  u a -> f x  a)
       -> (forall x y. x  y -> f x  f y, forall a b. a  b -> u a  u b)
aLemma reflX transX reflA transA phi psi = (foo, bar) where
	foo p = psi(p `transX` phi reflA)
	bar p = phi(psi reflX `transA` p)

Diagramme

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2-Zellen

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2 Adjunktionen

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Noch eins.

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Bidirektionale ND-Regel u.ä.

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Kat Ord, a.k.a. Hälfte weggeworfen.
Kategorie   Menge   mit Quasiordnung  
Objekt Element
Morphismus  -"Zeuge" -- mit proof-irrelevance
Funktor   monotone Funktion  
nat. Trans  , jeweils   Zeuge für  
Funktorkategorie   Elemente: mon. Funktionen  , Ordnung:  
Monade Hüllen-Op; d.h.   monoton,  ,  
Set   scheint für die Zwecke hier zu reichen.
Hom-Funktor  
Yoneda-Lemma   monoton,  . Dann:  

Damit zum Beispiel   (Siehe auch en:Dedekind number) und
  usw.

  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  , (und damit auch  ).
  •  ,
  •  .
  •  ,
  •  ,
  •  
  • ( )
  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  .

ohne mathpartir

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Merke:

  • texvc kann Kapitälchen nicht, jedenfalls nicht mit \textsc

Beschriftungs-Hack 🤔

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Fazit: Kann man wohl immer noch nehmen. Zumindest, was die Optik angeht.