Benutzer:Debenben/Gedämpfte Schwingung

Eine gedämpfte Schwingung zeichnet sich dadurch aus, dass die Amplitude der Schwingung mit der Zeit abnimmt. Die Dämpfung eines Systems beruht darauf, dass dem System Energie, meist in Form von Wärme abgezweigt wird.

In den meisten Fällen lässt sich eine ungedämpfte Schwingung, beispielsweise die eines Federpendels, in guter Näherung als harmonischer Oszillator beschreiben. Da sich lineare Systeme mathematisch wesentlich einfacher behandeln lassen, wird häufig näherungsweise eine lineare Dämpfung angenommen. Je nach Stärke der Dämpfung unterscheidet man drei Fälle:

Darstellung des zeitlichen Verlaufs der Größe $x(t)$ bei einer freien gedämpften Schwingung.

A damped harmonic oscillator, which slows down due to friction

• Schwingfall
• Aperiodischer Grenzfall
• Kriechfall

Harmonischer Oszillator

Siehe auch: Harmonischer Oszillator

Die Differenzialgleichung eines ungedämpften harmonischen Oszillators ist

$m{\ddot {x}}+kx=0$

Dämpfungsterm

Siehe auch: Dämpfung

Tatsächliche physikalische Systeme sind immer gedämpft. Da sie beispielsweise durch Reibung immer Energie an die Umgebung abgeben, nimmt die Amplitude ihrer Schwingung im Laufe der Zeit ab. Überlässt man ein solches System sich selbst (freie Schwingung), so führt dieses letztendlich zum „Stillstand“, wie aus dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik hervorgeht. Perpetua Mobilia sind also (siehe Energieerhaltungssatz) nicht möglich.

Bei linearer Dämpfung kann die Reibung allgemein durch einen Dämpfungsterm $F_{\mathrm {R} }=-2m\gamma {\dot {x}}$ hinzugefügt werden, welcher zur Geschwindigkeit ${\dot {x}}$ proportional und entgegengesetzt ausgerichtet ist. Die Konstante $\gamma \geq 0$ wird auch als Abklingkonstante bezeichnet. Damit erhält man die Bewegungsgleichung einer linear gedämpften Schwingung als gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung:

Stellt man das Kräftegleichgewicht eines harmonischen Oszillators mit einer zur Geschwindigkeit proportionalen Dämpfung auf, so ergibt sich folgende Bewegungsgleichung:

$m{\ddot {x}}+d{\dot {x}}+kx=0\,$

Dabei ist

$m$ die Masse,

$d$ die Dämpfungskonstante und

$k$ die Federkonstante (das Rückstellmoment).

(Für Drehschwingungen ist $m$ durch das Trägheitsmoment $J$ und $x$ durch den Auslenkungswinkel $\varphi$ zu ersetzen.)

Lösung der Differenzialgleichung

Hierbei handelt es sich um eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, die sich auf die allgemeine Form

${\ddot {x}}+2\delta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0\,$

bringen lässt, wenn man die (positiven) Abkürzungen für die Abklingkonstante

$\delta ={\frac {d}{2m}}$

und die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz

$\omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

einführt, deren Bezeichnungen erst bei der Interpretation der Lösung deutlich werden.

Beim klassischen Weg zur Lösung einer solchen linearen homogenen Differentialgleichung (alternativ kann man Methoden der Operatorenrechnung benutzen) können mit Hilfe des Ansatzes

$x(t)=e^{\lambda t}\,$

mit gegebenenfalls komplexem Parameter $\lambda$ zwei linear unabhängige Lösungen gefunden werden, welche ein Fundamentalsystem bilden. Eingesetzt in die Differentialgleichung ergibt sich:

$(\lambda ^{2}+2\delta \lambda +\omega _{0}^{2})\,e^{\lambda t}=0$.

In dieser Gleichung kann nur der Klammerausdruck gleich Null sein. Man erhält die sogenannte charakteristische Gleichung zur Bestimmung der Konstante $\lambda$:

$\lambda ^{2}+2\delta \lambda +\omega _{0}^{2}=0$

Das ist eine quadratische Gleichung, deren Diskriminante

$\delta ^{2}-\omega _{0}^{2}$

bestimmt, ob sie zwei reelle Lösungen, zwei konjugiert komplexe Lösungen oder eine sogenannte Doppelwurzel besitzt. Deshalb ist eine Fallunterscheidung erforderlich. Die Theorie der linearen Differentialgleichungen zeigt, dass die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung eine Linearkombination der beiden ermittelten Lösungen ist. Besitzt die charakteristische Gleichung zwei Lösungen (also ist die Diskriminante ungleich 0), dann lässt sich die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung wie folgt schreiben:

$x(t)=X_{1}e^{\lambda _{1}t}+X_{2}e^{\lambda _{2}t}.$

Die beiden (im Allgemeinen komplexen) Konstanten $X_{1}$ und $X_{2}$ repräsentieren die zwei noch vorhandenen Freiheitsgrade der allgemeinen Lösung. Durch die Festlegung von zwei Anfangsbedingungen (z. B. $x(0)$ oder/und ${\dot {x}}(0)$) müssen die beiden Konstanten für einen konkreten Fall präzisiert werden.

Fallunterscheidung

Step-response of a damped harmonic oscillator; curves are plotted for three values of μ = ω₁ = ω₀Vorlage:Radic. Time is in units of the decay time τ = 1/(ζω₀).

Schwingfall

Eine Schwingung kann es nur geben, wenn die Verluste gering sind. Dann ist mit $\delta <\omega _{0}$ die Diskriminante negativ, der Wurzelausdruck imaginär und man erhält zwei konjugiert komplexe Lösungen:

$\lambda _{1,2}=-\delta \pm i{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\delta ^{2}}}$.

Mit der gedämpften Eigenkreisfrequenz:

$\omega _{d}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\delta ^{2}}}$.

ergibt sich kürzer:

$\lambda _{1,2}=-\delta \pm i\omega _{d}$.

Damit erhält man

$x(t)=e^{-\delta t}\left(X_{1}e^{i\omega _{d}t}+X_{2}e^{-i\omega _{d}t}\right).$

Mit Hilfe der Eulerschen Formeln lässt sich die Lösung der homogenen Differentialgleichung auch in trigonometrischer Form angeben. Diese ist rein reell und praktisch besser interpretierbar:

$x(t)=e^{-\delta t}\left(X_{3}\sin(\omega _{d}\,t)+X_{4}\cos(\omega _{d}\,t)\right)\,$

oder

$x(t)=x_{0}\,e^{-\delta t}\cos(\omega _{d}\,t+\varphi _{0})\,$

Auch hier sind jeweils die beiden Konstanten $X_{3}$ und $X_{4}$ bzw. $x_{0}$ und $\varphi _{0}$ durch die Anfangsbedingungen zu bestimmen. Insbesondere die letzte Form ist leicht als „gedämpfte Schwingung“ zu interpretieren.

Durch Vorgabe der zwei Anfangsbedingungen $x(0)$ und ${\dot {x}}(0)$ können die beiden Konstanten eliminiert werden. Ausgehend von der ersten trigonometrischen Form erhält man die konkrete von beiden Anfangsbedingungen abhängige Lösung

$x(t)=e^{-\delta t}\left({\frac {{\dot {x}}(0)+\delta x(0)}{\omega _{d}}}\cdot \sin(\omega _{d}\,t)+x(0)\cdot \cos(\omega _{d}\,t)\right)\,.$

Wenn die Abklingkonstante $\delta$ gleich Null ist, bleibt die Amplitude konstant. Die Schwingung ist ungedämpft mit der Kreisfrequenz $\omega _{d}=\omega _{0}$.

Aperiodischer Grenzfall

→ Hauptartikel: Aperiodischer Grenzfall

Die Grenze ab der keine Schwingung mehr möglich ist, bildet der aperiodische Grenzfall ($\delta =\omega _{0}$ bzw. $\omega _{d}=0$). Die Lösung enthält dann keine Sinusfunktion. Da nun $\lambda _{1}=\lambda _{2}=-\delta$ gilt, muss eine zu $e^{\lambda _{1}t}$ unabhängige zweite Lösung auf andere Weise konstruiert werden. Es ergibt sich

$x(t)=X_{1}e^{-\delta t}+X_{2}te^{-\delta t}.$

Kriechfall

→ Hauptartikel: Kriechfall

Bei hoher Dämpfung, also für $\delta >\omega _{0}$ ergibt sich der Kriechfall, dessen Lösung sich aus zwei Exponentialfunktionen mit den beiden reellen $\lambda _{1,2}$ zusammensetzt:

$x(t)=X_{1}e^{\lambda _{1}t}+X_{2}e^{\lambda _{2}t}$.

Oszillator mit sinusförmiger Anregung

Siehe auch: Resonanz und Erzwungene Schwingung

Steady state variation of amplitude with frequency and damping of a driven simple harmonic oscillator.

In the case of a sinusoidal driving force:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {1}{m}}F_{0}\sin(\omega t),$

where $\,\!F_{0}$ is the driving amplitude and $\,\!\omega$ is the driving frequency for a sinusoidal driving mechanism. This type of system appears in AC driven RLC circuits (resistor-inductor-capacitor) and driven spring systems having internal mechanical resistance or external air resistance.

The general solution is a sum of a transient solution that depends on initial conditions, and a steady state that is independent of initial conditions and depends only on the driving amplitude $\,\!F_{0}$, driving frequency, $\,\!\omega$, undamped angular frequency $\,\!\omega _{0}$, and the damping ratio $\,\!\zeta$.

The steady-state solution is proportional to the driving force with an induced phase change of $\,\!\phi$:

$x(t)={\frac {F_{0}}{mZ_{m}\omega }}\sin(\omega t+\phi )$

where

$Z_{m}={\sqrt {\left(2\omega _{0}\zeta \right)^{2}+{\frac {1}{\omega ^{2}}}\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}}}$

is the absolute value of the impedance or linear response function and

$\phi =\arctan \left({\frac {2\omega \omega _{0}\zeta }{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\right)$

is the phase of the oscillation relative to the driving force, if the arctan value is taken to be between -180 degrees and 0 (that is, it represents a phase lag, for both positive and negative values of the arctan's argument).

For a particular driving frequency called the resonance, or resonant frequency $\,\!\omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}$, the amplitude (for a given $\,\!F_{0}$) is maximum. This resonance effect only occurs when $\,\zeta <1/{\sqrt {2}}$, i.e. for significantly underdamped systems. For strongly underdamped systems the value of the amplitude can become quite large near the resonance frequency.

The transient solutions are the same as the unforced ($\,\!F_{0}=0$) damped harmonic oscillator and represent the systems response to other events that occurred previously. The transient solutions typically die out rapidly enough that they can be ignored.

Darstellung im Phasenraum

Schwingfall

und entsprechend Kriechfall+Aperiodischer Grenzfall