Benutzer:Digamma/Vektor

Geometrie

Definition

In der Geometrie versteht man unter einem Vektor ein Objekt, das eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt. Eine Verschiebung kann durch einen Pfeil, der einen Urbildpunkt mit seinem Bildpunkt verbindet, dargestellt werden. Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind, beschreiben dieselbe Verschiebung und stellen somit denselben Vektor dar. Zum Beispiel beschreiben im Bild rechts der Pfeil von $A$ nach $A'$, der Pfeil von $B$ nach $B'$ und der Pfeil von $C$ nach $C'$ dieselbe Verschiebung um 7 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben. Sie repräsentieren alle denselben Vektor ${\vec {v}}={\overrightarrow {AA'}}={\overrightarrow {BB'}}={\overrightarrow {CC'}}$. Formal kann man deshalb Vektoren wie folgt definieren:

Ein Pfeil ist eine gerichtete Strecke, das heißt, eine Strecke, bei der eine Reihenfolge der Endpunkte festgelegt ist. Zwei Pfeile heißen äquivalent, wenn sie parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind. Dies definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile der Ebene bzw. des Raums. Die Äquivalenzklassen heißen Vektoren.

Eine andere Möglichkeit ist, einen Vektor mit der durch ihn dargestellten Parallelerschiebung zu identifizieren. „Vektor“ ist dann nur eine andere Sprechweise für „Parallelverschiebung“.

Schreib- und Sprechweisen

Ein Vektor von A nach B

Variablen, die für Vektoren stehen, werden vor allem in der Schulmathematik und in der Physik häufig mit einem Pfeil gekennzeichnet (${\vec {v}}$). Vor allem im englischsprachigen Raum werden sie auch fett geschrieben ($\mathbf {v}$, ${\boldsymbol {v}}$ oder v). In Handschriften wird dies häufig durch Unterstreichung (${\underline {v}}$) oder ähnliches repräsentiert. Früher war teilweise auch die Schreibweise mit Frakturbuchstaben (${\mathfrak {v}}$) üblich. Häufig gewählte Buchstaben sind ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}},\dots ,{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}},{\vec {x}},{\vec {y}}$ und ${\vec {z}}$.

Der Vektor, der eine Verschiebung beschreibt, die den Punkt $A$ auf den Punkt $B$ abbildet, wird als ${\overrightarrow {AB}}$ geschrieben und grafisch durch einen Pfeil dargestellt, der vom Punkt $A$ zum Punkt $B$ zeigt. Man sagt: „Der Vektor ${\overrightarrow {AB}}$ bildet $A$ auf $B$ ab“, oder „Der Vektor ${\overrightarrow {AB}}$ verbindet $A$ und $B$.“ Der Punkt $A$ wird in diesem Fall als Ausgangs- oder Startpunkt und $B$ als Spitze oder Endpunkt des Vektorpfeils bezeichnet.

Darstellung in Koordinaten

Ist, wie in der Abbildung oben, ein geradliniges Koordinatensystem gegeben, so kann ein Vektor der Ebene durch ein geordnetes Zahlenpaar, ein Vektor im Raum durch ein Zahlentripel beschrieben werden. In der Regel werden diese untereinander, als sogenannte Spaltenvektoren geschrieben. Für den Vektor in der Ebene, der die Verschiebung um 7 Einheiten nach rechts (in $x$-Richung) und 3 Einheiten nach oben (in $y$-Richtung) beschreibt, schreibt man ${\vec {v}}={\tbinom {7}{3}}$. Der Vektor ${\tbinom {2}{-5}}$ beschreibt eine Verschiebung um 2 Einheiten in $x$-Richtung und −5 Einheiten in $y$-Richtung, das heißt um 2 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten. Entsprechend beschreibt im Raum der Vektor $\left({\begin{smallmatrix}3\\-2\\4\end{smallmatrix}}\right)$ eine Verschiebung um 3 Einheiten in $x$-Richtung, 2 Einheiten in negativer $y$-Richtung und 4 Einheiten in $z$-Richtung.

Die Koordinaten eines Vektors lassen sich als Differenz der Koordinaten von End- und Anfangspunkt berechnen. Im obigen Beispiel haben $A$ und $A'$ die Koordinaten $A(-6|-2)$ und $A'(1|2)$. Die Koordinaten des Verbindungsvektors ${\vec {v}}={\overrightarrow {AA'}}$ berechnen sich dann wie folgt:

${\vec {v}}={\overrightarrow {AA'}}={\begin{pmatrix}1-(-6)\\2-(-2)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}}$.

Länge eines Vektors, Einheitsvektoren

Als Länge oder Betrag eines Vektors bezeichnet man die Länge der ihn repräsentierenden Pfeile, also den Abstand zwischen Anfangs- und Endpunkt. Die Länge des Vektors ${\vec {v}}$ notiert man als $|{\vec {v}}|$. In kartesischen Koordinaten kann man die Länge eines Vektors mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen:

$|{\vec {v}}|={\sqrt {{v_{1}}^{2}+{v_{2}}^{2}}}$ in der Ebene

und

$|{\vec {v}}|={\sqrt {{v_{1}}^{2}+{v_{2}}^{2}+{v_{3}}^{2}}}$ im Raum.

Einen Vektor der Länge 1 bezeichnet man als Einheitsvektor.

n-Tupel und Spaltenvektoren

In Verallgemeinerung der Koordinatendarstellung von geometrischen Vektoren werden Elemente von $\mathbb {R} ^{n}$, also $n$-Tupel reeller Zahlen, als Vektoren bezeichnet, wenn mit ihnen die für Vektoren typischen Rechenoperationen Addition und skalare Multiplikation ausgeführt werden. In der Regel werden die $n$-Tupel als sogenannte Spaltenvektoren geschrieben, das heißt, ihre Einträge stehen untereinander.

Addition und skalare Multiplikation

Die Addition und die skalare Multiplikation werden komponentenweise definiert:

${\vec {x}}+{\vec {y}}=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})+(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dots ,x_{n}+y_{n}),$

$r{\vec {x}}=r\,(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=(rx_{1},rx_{2},\dots ,rx_{n})$

für ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),{\vec {y}}=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$, $r\in \mathbb {R}$, bzw. als Spaltenvektoren geschrieben:

${\vec {x}}+{\vec {y}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\\vdots \\x_{n}+y_{n}\end{pmatrix}},\quad r{\vec {x}}=r{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx_{1}\\\vdots \\rx_{n}\end{pmatrix}}.$

Die Menge $\mathbb {R} ^{n}$ bildet mit diesen Verknüpfungen einen Vektorraum über dem Körper $\mathbb {R}$, das Standardbeispiel eines $n$-dimensionalen $\mathbb {R}$-Vektorraums.

Standardskalarprodukt

→ Hauptartikel: Standardskalarprodukt

Das Standardskalarprodukt ist definiert durch

${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=(x_{1},\dotsc ,x_{n})\cdot (y_{1},\dotsc ,y_{n})={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}=x_{1}y_{1}+\dotsb +x_{n}y_{n}$.

Mit diesem Skalarprodukt ist der $\mathbb {R} ^{n}$ ein euklidischer Vektorraum.

Multiplikation mit einer Matrix

Ist $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ eine ($m\times n$)-Matrix und ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Spaltenvektor, so kann man ${\vec {x}}$ als einspaltige Matrix in $\mathbb {R} ^{n\times 1}$ auffassen und das Matrixprodukt $A\,{\vec {x}}$ bilden. Das Ergebnis ist ein Spaltenvektor in $\mathbb {R} ^{m}$:

$A\,{\vec {x}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+\dots +a_{1n}x_{n}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\dots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}}$

Schnipsel

Unabhängig davon, wie man Vektoren formal definiert, stellt man sie üblicherweise durch Pfeile dar. Man sagt, der Pfeil repräsentiert den Vektor. Zwei Pfeile, die gleichlang, parallel und gleichgerichtet sind, repräsentieren denselben Vektor.

Ist die Länge des Vektors gemeint, wird der Vektor mit zwei senkrechten Betragsstrichen eingeklammert: $|{\vec {a}}|$.