Benutzer:Dsperlich/Elektronenmobilität

Die Elektonenmobilität $\mu$ (auch Löchermobilität, oder allgemein Mobilität) bezeichnet den Zusammenhang zwischen einem angelegten elektrischen Feld ${\vec {E}}$ und der Driftgeschwindigkeit ${\vec {v}}_{\mathrm {D} }$ von Elektronen bzw. Löchern. In einem Plasma ist die Mobiltät auch für Ionen definiert. Sie ist somit neben der Ladungsträgerdichte ein wichtiger Bestandteil von elektrischen Strom.

$\mu ={\frac {|{\vec {v}}_{\mathrm {D} }|}{|{\vec {E}}|}}$

Die SI-Einheit für die Mobilität ist m²/Vs, allerdings wird normalerweise cm²/Vs verwendet. Für kleine Feldstärken ist die Mobilität unabhängigig von dieser. Bei größeren Feldstärken erreicht die Driftgeschwirdigkeit in Festkörpern ein Maximum und die Mobilität sinkt somit.

Zusammenhang mit Leitfähigkeit

Die elektrische Leitfähigkeit lässt sich mit der Beweglichkeit in Verbindung bringen. Für leitfähige Stoffe lautet die Materialgleichung, die die elektrische Stromdichte mit dem angelegten elektrischen Feld über die elektrische Leitfähigkeit $\sigma$ verknüpft:

${\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}=\sigma {\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {D} }}{\mu }}$

Das zweite Gleichheitszeichen gilt unter Verwendung der obigen Definition der Beweglichkeit. Allgemein ist die Stromdichte als Ladungsdichte mal Geschwindigkeit definiert ($\rho =qn$  ist die Ladungsdichte = Ladung mal Ladungsträgerdichte):

${\vec {j}}=\rho {\vec {v}}_{\mathrm {D} }=qn{\vec {v}}_{\mathrm {D} }$

Somit kommt man durch Gleichsetzen auf den Zusammenhang zwischen Leitfähigkeit und Beweglichkeit:

$\,\sigma =qn\mu$,

wobei q  die elektrische Ladung (nicht notwendigerweise die Elementarladung) eines Ladungsträgers (z. B. Elektron, Loch, Ion, geladenes Molekül etc.) und n die Ladungsträgerdichte darstellen. In Metallen ändert sich die Ladungsträgerdichte mit der Temperatur wenig und die Leitfähigkeit ist von der temperaturabhängigen Mobilität bestimmt

Die Leitfähigkeit eines Halbleiters setzt sich zusammen aus der Elektronendichte $n$ und deren Beweglichkeit $\mu _{n}$ sowie der Lochdichte $p$ und deren Beweglichkeit $\mu _{p}$

$\,\sigma =e(n\mu _{n}+p\mu _{p})$

Bei Halbleitern ändert sich mit der Temperatur die Ladungsträgerdichte stark (exponentiell), dagegen ist die Temperaturabhängigkeit der Mobilität klein.

Mikroskopische Betrachtung

Ladungsträger bewegen sich in einem Gas oder Festkörper ohne ein elektrisches Feld in der Regel zufällig, d. h. die Driftgeschwindigkeit ist null. Bei Anwesenheit eines elektrischen Feldes bewegen sich die Ladungen dagegen mit einer effektiven Geschwindigkeit entlang des Feldes, die deutlich geringer als die mittlere Geschwindigkeit der einzelnen Ladungen ist.

Nach dem Drude-Modell ist die Driftgeschwindigkeit gleich

$v_{\mathrm {D} }={\frac {q\tau }{m}}E$

Daraus kann man die Mobilität direkt ablesen:

$\mu ={\frac {q\tau }{m}}$

wobei $q$: Ladung, $m$ Masse, $\tau$ mittlere Stoßzeit (Zeit zwischen zwei Stößen). Die mittlere Stoßzeit lässt sich als Quotient aus mittlerer freier Weglänge und mittlerer Geschwindigkeit schreiben:

$\tau ={\frac {\lambda }{v_{\mathrm {th} }+v_{\mathrm {D} }}}\approx {\frac {\lambda }{v_{\mathrm {th} }}}\quad {\text{mit}}\quad v_{\mathrm {th} }={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}$

Die mittlere Geschwindigkeit setzt sich aus mittlerer thermischer Geschwindigkeit $v_{th}$ und Driftgeschwindigkeit $v_{D}$ zusammen. Die Driftgeschwindigkeit ist bei nicht zu großen elektrischen Feldstärken viel kleiner als die thermische Geschwindigkeit, weswegen man sie vernachlässigen kann.

Eine quantenmechanische Betrachtung nach Sommerfeld liefert ein ähnliches Ergebnis. Dort muss allerdings die Masse durch die effektive Masse (kann sich um mehrere Größenordnungen von der Elektronenmasse unterscheiden) ersetzt werden. Zudem muss die mittlere Stoßzeit für die Elektronen mit der Fermienergie eingesetzt werden. Zur Leitfähigkeit (in entarteten Systemen, wie Metallen und hochdotierten Halbleitern) tragen nämlich nur die Elektronen mit Energie im Bereich $kT$ um die Fermienergie bei.

$\mu ={\frac {q\,\lambda (E_{\mathrm {F} })}{m^{*}\,v(E_{\mathrm {F} })}}$

Begrenzung der Mobilität

Die Ladungsträger Mobolität in einem elektrisch leitfähigen Kristall wird durch diverse Streumeachanismen begrenzt.

Streuung am Gitter

Ionisierte Störstellen

Die Brooks Herring Formel bescheibt die Mobilität von elektrischen Ladungsträgern in einem Halbleiter. Die in diesem Modell betrachtete Streuung der Ladungsträger findet an ionisierten neutralen Störstellen statt.

$\mu (T)=3.3\cdot 10^{15}{\frac {T^{\frac {3}{2}}}{N_{I}}}\left({\frac {m_{0}}{m^{*}}}\right)^{\frac {1}{2}}\epsilon _{0}^{2}\ln \left(1.2\cdot 10^{14}{\frac {T^{2}}{n'}}\epsilon _{0}\left({\frac {m^{*}}{m_{0}}}\right)-1\right)$

Akoustische Phononen

Die Einfachste Beschreibung für Streuung von Elektronen an akustischen Phononen ist für Elektronen in nichtentarteten, parabolischen Bändern mit einer Kugelsymmetrie. In diesem Fall ist die Mobilität gegeben durch :

$\mu _{\mathrm {AC} }^{s}={\frac {2^{\frac {2}{3}}\pi ^{\frac {1}{2}}e\hbar ^{4}\rho u_{l}^{2}}{3(m^{*})^{\frac {5}{2}}(k_{B}T)^{\frac {3}{2}}E_{\mathrm {AC} ^{2}}}}$

Einzelnachweise

Kategorie:Elektrodynamik Kategorie:Festkörperphysik