Benutzer:Filomusa/Form (Algebra)

Die Form (engl. algebraic form) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra, der seit 1782 verwendet wird. Formen lassen sich als homogene Polynome auffassen.

Definition

Eine Form ist ein Polynomfunktion in zwei oder mehreren Variablen, wenn jedes ihrer Monome (also jeder ihrer Summanden) denselben (Total-)Grad hat.

Ausführlich: Es sei $R$ kommutativer Ring mit Eins. Man denke sich einen Integritätsbereich oder einen Hauptidealring oder gar einen Körper $R=K$. Jedes Polynom aus der Polynomalgebra $R[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]$ in $n$ Unbestimmten $X_{i}$ liefert durch den Einsetzungshomorphismus eine Polynomfunktion $R\to R$.

Ein Polynom $f(X_{1},\dots ,X_{n})=\sum a_{i}X_{1}^{k_{1,i}}\,X_{2}^{k_{2,i}}\cdots X_{n}^{k_{n,i}}$ heißt homogen vom (Total-)Grad $d$, wenn $\forall i:\;\left[\sum _{j}k_{j,i}\neq d\Rightarrow a_{i}=0\right]$. Die zugehörige Polynomfunktion $f\colon K\times \dots \times K\to K,(x_{1},\dots ,x_{n})\mapsto f(x_{1},\dots ,f_{n})$ heißt dann eine Form oder eine homogene Polynomfunktion vom Grade $d$ in $n$ Variablen. Niedrige Werte für $d$ und $n$ werden mit folgenden Attributen bezeichnet:

Übliche Attribute von Formen

Grad $d$ Attribut engl. $1$ linear linear $2$ quadratisch quadratic $3$ kubische cubic $4$ biquadratisch oder quartisch quartic $d$ – $d$-ic

(Stufe?) $n$ Attribut engl. 1 – – 2 binär binary 3 ternär ternary 4 quaternär quaternary $n$ – $n$-ary

Eigenschaften

Für eine Form vom Grade $d$ in $n$ Variablen gilt: $f(t\,x_{1},\dots ,t\,x_{n})=t^{d}\,f(x_{1},\dots ,x_{n})$.

Beispiele und Spezialfälle

1. Das Polynom $X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+XY^{2}+XYZ$ von Grad drei in drei Variablen $X,Y,Z$ liefert eine ternäre kubische Form.
2. Das Polynom $X_{1}Y_{2}-Y_{1}X_{2}$ liefert ein quaternäre quadratische Form in den vier Variablen $X_{1},X_{2},Y_{1},Y_{2}$.
3. Das Polynom $X_{1}Y_{1}+X_{2}Y_{2}+X_{3}Y_{3}$ liefert eine senäre quadratische Form in den vier Variablen $X_{1},X_{2},X_{3},Y_{1},Y_{2},Y_{3}$.
4. Das Polynom $XY^{2}+XY$ liefert keine Form, ebensowenig $X^{2}+X$.
5. Ein homogene Form in einer oder mehreren Variablen vom Grad eins nennt man Linearform. Es ist eine lineare Abbildung.
6. Ein Polynom in zwei Variablen vom Grad eins, also eine binäre Linearform, nennt man Bilinearform.
7. Eine ternäre Linearform heißt Trilinearform.
8. Für allgemeines $n$ spricht man von Multilinearform der Stufe $n$.
9. Ein Polynom in $n$ Variablen, welches in jeder Variablen linear ist (also in jeder Variablen den (partiellen) Grad $1$ hat), nennt man eine $n$-Multilinearform. Es hat dann den (Total-)Grad $n$.
10. Eine besondere Klasse der Multilinearformen sind die Elemente der äußeren Algebra. Diese werden in der Differentialgeometrie zu Differentialformen verallgemeinert.
11. Eine Sesquilinearform ist eine binäre Form über dem Körper $K=\mathbb {C}$, die in einem der beiden ARgumente linear, im anderen semilinear oder (synonym) antilinear ist. Dies ist ein Sonderfall, der für den Körper der komplexen Zahlen typisch ist. Es wird dazu die komplexe Konjugation (als eine Involution) benötigt.

Formen auf Moduln oder Vektorräumen

Der Grundring $R$ ist ein Modul über sich selbst, im Falle eines Körpers ein (eindimensionaler) Vektorraum über sich selbst. Linearformen lassen sich auch allgemeiner auf Moduln oder Vektorräumen definieren. Ist der Modul frei (wie im Falle eines Vektorraums), so lässt sich jedes Argument der Multilinearform mit einem $m$-Tupel von Koordinaten angeben, so dass die Multilinearform insgesamt $m\cdot n$ Elemente des Grundringes bzw. Grundkörpers als Variablen annimmt ($n$ Spaltenvektoren der Dimension $m$). Wesentlich ist jedoch, dass das Bild stets in $R$ liegt.

Für $n=1=d$ ist eine Linearform ein Element des Dualraumes $V^{*}$.

• Symmetrische Form: Nach dem Haupsatz eine Polynomfunktion in elementarsymmetrischen Polynomen.
• Antisymmetrischen Formen

Anmerkung

Wesentlich für Multilinearformen ist, dass ihre Werte im Grundring (bzw. Grundkörper) $R$ liegen. Multilineare Abbildungen können Werte in Modul über $R$ haben. Auch quadratische Abbildungen $q(x)$ (das sind Summen $q(x)=b(x,x)+l(x)$ von bilinearen Abbildungen $b$ und linearen Abbildungen $l$) können Werte in Moduln haben. Sie sind genau dann quadratisch homogen, wenn $l=0$. Tatsächlich sind nämlich $b$ und $l$ durch $q$ eindeutig bestimmt, wenn in $R$ eine eindeutige Halbierung (Division durch $2$) gegeben ist.

Polarisierung

(siehe encyclopediaofmath.org)

Eine $n$-fach multilineare Abbildung $m\colon \underbrace {M\times \dots \times M} _{n{\text{-mal}}}\to N$ mit $R$ Moduln $M,N$ liefert eine homogene Funktion ${\overline {m}}\colon M\to N$ vom Homogenitätsgrad $n$ durch ${\overline {m}}(x):=m(x,\dots ,x)$. Für $s\in R$ gilt dann ${\overline {m}}(s\cdot x):=s^{n}\cdot {\overline {m}}(x)$.

Auf diese Weise liefert im Falle von $N=R$ eine $n$-fache Multilinearform eine einfache Form $M\to R$ vom Homogenitätsgrad $n$. Ist $M=R=N$, so gilt $m(x_{1},\dots ,x_{n})=r\cdot x_{1}\cdots x_{n}$ für ein konstantes $r\in R$ und mithin ${\overline {m}}(x)=r\cdot x^{n}$.

Unter bestimmten Voraussetzungen lässt sich auch umgekehrt einer Form $F\colon M\to R$ der Stufe 1 und des Grades $d$ eine Linearform $l\colon \underbrace {M\times \dots \times M} _{d{\text{-mal}}}\to R$ der Stufe $d$ zuordnen, so dass für beide die Beziehung

$F(x)=l(x,\dots ,x)$

gilt. Diesen Zuordnungsvorgang nennt man Polarisierung, und er wird durch die Polarisierungsformel gegeben.

So vermittelt zwischen quadratischen Formen und Bilinearformen die Polarisierungsformel $\dots$.

Für allgemeines $d$ gilt die Formel (siehe encyclopediaofmath.org).

Allgemein setzt die Polarisierungsformel eine homogene Form $F$ (der Stufe 1) vom Grade $d$ in Beziehung zu zu einer multlinearen Form $M$ der Stufe $d$ über einem Körper $K$ der Charakteristik Null

$M(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{k!}}\sum _{\emptyset \neq I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}(-1)^{n-|I|}F\left({\sum _{i\in I}x_{i}}\right)\ .$

Voraussetzung an die Charakteristik

Ungleich Null, oder mit Teilbarkeit durch 2.

Eigenschaften

Formen sind Abbildungen, homogene Polynome sind Elemente aus einem Polynomring. Formen stehen also zu homogenen Polynomen in ähnlicher Beziehung wie Polynomfunktionen zu Polynomen. Die Begriffe „Form“ und „homogene Polynomfunktion“ sind synonym.

Literatur

• Form. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 
• Polarization identity. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 

Einzelnachweise

Kategorie:Algebra