Zu einem Modul M über einem kommutativen Ring R mit Einselement (also insbesondere auch zu einem Vektorraum über einem Körper) kann man die so genannte Tensoralgebra

bilden. Mit der Multiplikation, die auf den homogenen Bestandteilen durch das Tensorprodukt gegeben ist, bildet sie eine graduierte, assoziative, jedoch nicht kommutative R-Algebra.

Verwandte Konstruktionen

Bearbeiten

=== Graßmann-Algebra

  • Graßmann-Algebra oder äußere Algebra: Die äußere Algebra
 
ist der Quotient der Tensoralgebra nach dem zweiseitigen Ideal, das von allen Elementen der Form
 
für Elemente a von M erzeugt wird. Die Multiplikation wird
 
geschrieben, und es gilt
 
für homogene Elemente a, b. Die graduierten Bestandteile heißen auch k-te äußere Potenzen
 
von M.
  • Die symmetrische Algebra
 
ist der Quotient der Tensoralgebra nach den zweiseitigen Ideal, das von allen Elementen der Form
 
für Elemente a,b von M erzeugt wird. Die Multiplikation wird durch Nebeneinanderschreiben oder einen Punkt symbolisiert. SM ist eine kommutative R-Algebra. Die graduierten Bestandteile heißen auch k-te symmetrische Potenzen SkM von M.

Beispiele

Bearbeiten

Ist M ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K, so ist TM isomorph zum Ring der nichtkommutativen Polynome in n Unbestimmten über K, die äußere Algebra über M ist eine 2n-dimensionale K-Algebra (die Dimension in Grad k ist  ), und die symmetrische Algebra SM ist isomorph zu einem gewöhnlichen Polynomring in n Unbestimmten über K.